Algèbre Exemples

$\sqrt{6 - x} < x$

Étape 1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’inégalité, élevez au carré les deux côtés de l’inégalité.

${\sqrt{6 - x}}^{2} < x^{2}$

Étape 2

Simplifiez chaque côté de l’inégalité.

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Étape 2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{6 - x}$ comme ${(6 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(6 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} < x^{2}$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Simplifiez ${({(6 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(6 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(6 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} < x^{2}$

Étape 2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(6 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} < x^{2}$

Étape 2.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(6 - x)}^{1} < x^{2}$

Étape 2.2.1.2

Simplifiez

$6 - x < x^{2}$

Étape 3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Soustrayez $x^{2}$ des deux côtés de l’inégalité.

$6 - x - x^{2} < 0$

Étape 3.2

Convertissez l’inégalité en une équation.

$6 - x - x^{2} = 0$

Étape 3.3

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 3.3.1

Factorisez $- 1$ à partir de $6 - x - x^{2}$ .

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Étape 3.3.1.1

Remettez l’expression dans l’ordre.

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Étape 3.3.1.1.1

Déplacez $6$ .

$- x - x^{2} + 6 = 0$

Étape 3.3.1.1.2

Remettez dans l’ordre $- x$ et $- x^{2}$ .

$- x^{2} - x + 6 = 0$

Étape 3.3.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) - x + 6 = 0$

Étape 3.3.1.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$- (x^{2}) - (x) + 6 = 0$

Étape 3.3.1.4

Réécrivez $6$ comme $- 1 (- 6)$ .

$- (x^{2}) - (x) - 1 \cdot - 6 = 0$

Étape 3.3.1.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2}) - (x)$ .

$- (x^{2} + x) - 1 \cdot - 6 = 0$

Étape 3.3.1.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2} + x) - 1 (- 6)$ .

$- (x^{2} + x - 6) = 0$

Étape 3.3.2

Factorisez.

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Étape 3.3.2.1

Factorisez $x^{2} + x - 6$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.3.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 6$ et dont la somme est $1$ .

$- 2, 3$

Étape 3.3.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$- ((x - 2) (x + 3)) = 0$

Étape 3.3.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- (x - 2) (x + 3) = 0$

Étape 3.4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 3 = 0$

Étape 3.5

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.5.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 3.5.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 3.6

Définissez $x + 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.6.1

Définissez $x + 3$ égal à $0$ .

$x + 3 = 0$

Étape 3.6.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 3$

Étape 3.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- (x - 2) (x + 3) = 0$ vraie.

$x = 2, - 3$

Étape 4

Déterminez le domaine de $\sqrt{6 - x} - x$ .

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Étape 4.1

Définissez le radicande dans $\sqrt{6 - x}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$6 - x \geq 0$

Étape 4.2

Résolvez $x$ .

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Étape 4.2.1

Soustrayez $6$ des deux côtés de l’inégalité.

$- x \geq - 6$

Étape 4.2.2

Divisez chaque terme dans $- x \geq - 6$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- x \geq - 6$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{- 6}{- 1}$

Étape 4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} \leq \frac{- 6}{- 1}$

Étape 4.2.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x \leq \frac{- 6}{- 1}$

Étape 4.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.2.3.1

Divisez $- 6$ par $- 1$ .

$x \leq 6$

Étape 4.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, 6]$

Étape 5

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 3$

$- 3 < x < 2$

$2 < x < 6$

$x > 6$

Étape 6

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 6.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 3$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 6.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 3$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 6$

Étape 6.1.2

Remplacez $x$ par $- 6$ dans l’inégalité d’origine.

$\sqrt{6 - (- 6)} < - 6$

Étape 6.1.3

Le côté gauche $3.46410161$ n’est pas inférieur au côté droit $- 6$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 6.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 3 < x < 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 6.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 3 < x < 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 6.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$\sqrt{6 - (0)} < 0$

Étape 6.2.3

Le côté gauche $2.44948974$ n’est pas inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 6.3

Testez une valeur sur l’intervalle $2 < x < 6$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 6.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $2 < x < 6$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Étape 6.3.2

Remplacez $x$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

$\sqrt{6 - (4)} < 4$

Étape 6.3.3

Le côté gauche $1.41421356$ est inférieur au côté droit $4$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 6.4

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 6$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 6.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 6$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 8$

Étape 6.4.2

Remplacez $x$ par $8$ dans l’inégalité d’origine.

$\sqrt{6 - (8)} < 8$

Étape 6.4.3

Le côté gauche n’est pas égal au côté droit, ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 6.5

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 3$ Faux

$- 3 < x < 2$ Faux

$2 < x < 6$ Vrai

$x > 6$ Faux

$x < - 3$ Faux

$- 3 < x < 2$ Faux

$2 < x < 6$ Vrai

$x > 6$ Faux

Étape 7

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$2 < x < 6$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$2 < x < 6$

Notation d’intervalle :

$(2, 6)$

Étape 9