Algèbre Exemples

$\frac{\frac{1}{3 x^{2} - 3}}{\frac{5}{x + 1} - \frac{x + 4}{x^{2} - 3 x - 4}}$

Étape 1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{1}{3 x^{2} - 3} \cdot \frac{1}{\frac{5}{x + 1} - \frac{x + 4}{x^{2} - 3 x - 4}}$

Étape 2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{2} - 3$ .

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Étape 2.1.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{2}$ .

$\frac{1}{3 (x^{2}) - 3} \cdot \frac{1}{\frac{5}{x + 1} - \frac{x + 4}{x^{2} - 3 x - 4}}$

Étape 2.1.2

Factorisez $3$ à partir de $- 3$ .

$\frac{1}{3 (x^{2}) + 3 (- 1)} \cdot \frac{1}{\frac{5}{x + 1} - \frac{x + 4}{x^{2} - 3 x - 4}}$

Étape 2.1.3

Factorisez $3$ à partir de $3 (x^{2}) + 3 (- 1)$ .

$\frac{1}{3 (x^{2} - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{5}{x + 1} - \frac{x + 4}{x^{2} - 3 x - 4}}$

Étape 2.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{1}{3 (x^{2} - 1^{2})} \cdot \frac{1}{\frac{5}{x + 1} - \frac{x + 4}{x^{2} - 3 x - 4}}$

Étape 2.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$\frac{1}{3 (x + 1) (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{5}{x + 1} - \frac{x + 4}{x^{2} - 3 x - 4}}$

Étape 3

Factorisez $x^{2} - 3 x - 4$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 4$ et dont la somme est $- 3$ .

$- 4, 1$

Étape 3.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{1}{3 (x + 1) (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{5}{x + 1} - \frac{x + 4}{(x - 4) (x + 1)}}$

Étape 4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.1

Pour écrire $\frac{5}{x + 1}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 4}{x - 4}$ .

$\frac{1}{3 (x + 1) (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{5}{x + 1} \cdot \frac{x - 4}{x - 4} - \frac{x + 4}{(x - 4) (x + 1)}}$

Étape 4.2

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x + 1) (x - 4)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.2.1

Multipliez $\frac{5}{x + 1}$ par $\frac{x - 4}{x - 4}$ .

$\frac{1}{3 (x + 1) (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{5 (x - 4)}{(x + 1) (x - 4)} - \frac{x + 4}{(x - 4) (x + 1)}}$

Étape 4.2.2

Réorganisez les facteurs de $(x - 4) (x + 1)$ .

$\frac{1}{3 (x + 1) (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{5 (x - 4)}{(x + 1) (x - 4)} - \frac{x + 4}{(x + 1) (x - 4)}}$

Étape 4.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{3 (x + 1) (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{5 (x - 4) - (x + 4)}{(x + 1) (x - 4)}}$

Étape 4.4

Réécrivez $\frac{5 (x - 4) - (x + 4)}{(x + 1) (x - 4)}$ en forme factorisée.

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Étape 4.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{3 (x + 1) (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{5 x + 5 \cdot - 4 - (x + 4)}{(x + 1) (x - 4)}}$

Étape 4.4.2

Multipliez $5$ par $- 4$ .

$\frac{1}{3 (x + 1) (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{5 x - 20 - (x + 4)}{(x + 1) (x - 4)}}$

Étape 4.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{3 (x + 1) (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{5 x - 20 - x - 1 \cdot 4}{(x + 1) (x - 4)}}$

Étape 4.4.4

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\frac{1}{3 (x + 1) (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{5 x - 20 - x - 4}{(x + 1) (x - 4)}}$

Étape 4.4.5

Soustrayez $x$ de $5 x$ .

$\frac{1}{3 (x + 1) (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{4 x - 20 - 4}{(x + 1) (x - 4)}}$

Étape 4.4.6

Soustrayez $4$ de $- 20$ .

$\frac{1}{3 (x + 1) (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{4 x - 24}{(x + 1) (x - 4)}}$

Étape 4.4.7

Factorisez $4$ à partir de $4 x - 24$ .

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Étape 4.4.7.1

Factorisez $4$ à partir de $4 x$ .

$\frac{1}{3 (x + 1) (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{4 (x) - 24}{(x + 1) (x - 4)}}$

Étape 4.4.7.2

Factorisez $4$ à partir de $- 24$ .

$\frac{1}{3 (x + 1) (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{4 x + 4 \cdot - 6}{(x + 1) (x - 4)}}$

Étape 4.4.7.3

Factorisez $4$ à partir de $4 x + 4 \cdot - 6$ .

$\frac{1}{3 (x + 1) (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{4 (x - 6)}{(x + 1) (x - 4)}}$

Étape 5

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{1}{3 (x + 1) (x - 1)} (1 \frac{(x + 1) (x - 4)}{4 (x - 6)})$

Étape 6

Multipliez $\frac{(x + 1) (x - 4)}{4 (x - 6)}$ par $1$ .

$\frac{1}{3 (x + 1) (x - 1)} \cdot \frac{(x + 1) (x - 4)}{4 (x - 6)}$

Étape 7

Annulez le facteur commun de $x + 1$ .

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Étape 7.1

Factorisez $x + 1$ à partir de $3 (x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{1}{(x + 1) (3 (x - 1))} \cdot \frac{(x + 1) (x - 4)}{4 (x - 6)}$

Étape 7.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{(x + 1) (3 (x - 1))} \cdot \frac{(x + 1) (x - 4)}{4 (x - 6)}$

Étape 7.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{3 (x - 1)} \cdot \frac{x - 4}{4 (x - 6)}$

Étape 8

Multipliez $\frac{1}{3 (x - 1)}$ par $\frac{x - 4}{4 (x - 6)}$ .

$\frac{x - 4}{3 (x - 1) (4 (x - 6))}$

Étape 9

Multipliez $4$ par $3$ .

$\frac{x - 4}{12 (x - 1) (x - 6)}$