Algèbre Exemples

$\cos (2 θ) + \sin^{2} (θ) = 0$

Étape 1

Remplacez $\sin^{2} (θ)$ par $1 - \cos^{2} (θ)$ .

$\cos (2 θ) (1 - \cos^{2} (θ)) = 0$

Étape 2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$\cos (2 θ) = 0$

$1 - \cos^{2} (θ) = 0$

Étape 3

Définissez $\cos (2 θ)$ égal à $0$ et résolvez $θ$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Définissez $\cos (2 θ)$ égal à $0$ .

$\cos (2 θ) = 0$

Étape 3.2

Résolvez $\cos (2 θ) = 0$ pour $θ$ .

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Étape 3.2.1

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $θ$ de l’intérieur du cosinus.

$2 θ = \arccos (0)$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.1

La valeur exacte de $\arccos (0)$ est $\frac{π}{2}$ .

$2 θ = \frac{π}{2}$

Étape 3.2.3

Divisez chaque terme dans $2 θ = \frac{π}{2}$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 3.2.3.1

Divisez chaque terme dans $2 θ = \frac{π}{2}$ par $2$ .

$\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Étape 3.2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Étape 3.2.3.2.1.2

Divisez $θ$ par $1$ .

$θ = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Étape 3.2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.3.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$θ = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 3.2.3.3.2

Multipliez $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 3.2.3.3.2.1

Multipliez $\frac{π}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$θ = \frac{π}{2 \cdot 2}$

Étape 3.2.3.3.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$θ = \frac{π}{4}$

Étape 3.2.4

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$2 θ = 2 π - \frac{π}{2}$

Étape 3.2.5

Résolvez $θ$ .

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Étape 3.2.5.1

Simplifiez

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Étape 3.2.5.1.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$2 θ = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 3.2.5.1.2

Associez $2 π$ et $\frac{2}{2}$ .

$2 θ = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 3.2.5.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 θ = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 3.2.5.1.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$2 θ = \frac{4 π - π}{2}$

Étape 3.2.5.1.5

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$2 θ = \frac{3 π}{2}$

Étape 3.2.5.2

Divisez chaque terme dans $2 θ = \frac{3 π}{2}$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 3.2.5.2.1

Divisez chaque terme dans $2 θ = \frac{3 π}{2}$ par $2$ .

$\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Étape 3.2.5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Étape 3.2.5.2.2.1.2

Divisez $θ$ par $1$ .

$θ = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Étape 3.2.5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.5.2.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$θ = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 3.2.5.2.3.2

Multipliez $\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 3.2.5.2.3.2.1

Multipliez $\frac{3 π}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$θ = \frac{3 π}{2 \cdot 2}$

Étape 3.2.5.2.3.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$θ = \frac{3 π}{4}$

Étape 3.2.6

Déterminez la période de $\cos (2 θ)$ .

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Étape 3.2.6.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 3.2.6.2

Remplacez $b$ par $2$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Étape 3.2.6.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $2$ est $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Étape 3.2.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 π}{2}$

Étape 3.2.6.4.2

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 3.2.7

La période de la fonction $\cos (2 θ)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$θ = \frac{π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 4

Définissez $1 - \cos^{2} (θ)$ égal à $0$ et résolvez $θ$ .

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Étape 4.1

Définissez $1 - \cos^{2} (θ)$ égal à $0$ .

$1 - \cos^{2} (θ) = 0$

Étape 4.2

Résolvez $1 - \cos^{2} (θ) = 0$ pour $θ$ .

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Étape 4.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- \cos^{2} (θ) = - 1$

Étape 4.2.2

Divisez chaque terme dans $- \cos^{2} (θ) = - 1$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- \cos^{2} (θ) = - 1$ par $- 1$ .

$\frac{- \cos^{2} (θ)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\cos^{2} (θ)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 4.2.2.2.2

Divisez $\cos^{2} (θ)$ par $1$ .

$\cos^{2} (θ) = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 4.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.2.3.1

Divisez $- 1$ par $- 1$ .

$\cos^{2} (θ) = 1$

Étape 4.2.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$\cos (θ) = \pm \sqrt{1}$

Étape 4.2.4

Toute racine de $1$ est $1$ .

$\cos (θ) = \pm 1$

Étape 4.2.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 4.2.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$\cos (θ) = 1$

Étape 4.2.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$\cos (θ) = - 1$

Étape 4.2.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$\cos (θ) = 1, - 1$

Étape 4.2.6

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $θ$ .

$\cos (θ) = 1$

$\cos (θ) = - 1$

Étape 4.2.7

Résolvez $θ$ dans $\cos (θ) = 1$ .

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Étape 4.2.7.1

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $θ$ de l’intérieur du cosinus.

$θ = \arccos (1)$

Étape 4.2.7.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.7.2.1

La valeur exacte de $\arccos (1)$ est $0$ .

$θ = 0$

Étape 4.2.7.3

$θ = 2 π - 0$

Étape 4.2.7.4

Soustrayez $0$ de $2 π$ .

$θ = 2 π$

Étape 4.2.7.5

Déterminez la période de $\cos (θ)$ .

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Étape 4.2.7.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 4.2.7.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 4.2.7.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 4.2.7.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 4.2.7.6

La période de la fonction $\cos (θ)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$θ = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 4.2.8

Résolvez $θ$ dans $\cos (θ) = - 1$ .

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Étape 4.2.8.1

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $θ$ de l’intérieur du cosinus.

$θ = \arccos (- 1)$

Étape 4.2.8.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.8.2.1

La valeur exacte de $\arccos (- 1)$ est $π$ .

$θ = π$

Étape 4.2.8.3

La fonction cosinus est négative dans les deuxième et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$θ = 2 π - π$

Étape 4.2.8.4

Soustrayez $π$ de $2 π$ .

$θ = π$

Étape 4.2.8.5

Déterminez la période de $\cos (θ)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.8.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 4.2.8.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 4.2.8.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 4.2.8.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 4.2.8.6

La période de la fonction $\cos (θ)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$θ = π + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 4.2.9

Indiquez toutes les solutions.

$θ = 2 π n, 2 π + 2 π n, π + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 4.2.10

Consolidez les réponses.

$θ = π n$ , pour tout entier $n$

Étape 5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $\cos (2 θ) (1 - \cos^{2} (θ)) = 0$ vraie.

$θ = \frac{π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n, π n$ , pour tout entier $n$

Étape 6

Consolidez $\frac{π}{4} + π n$ et $\frac{3 π}{4} + π n$ en $\frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ .

$θ = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}, π n$ , pour tout entier $n$

Étape 7

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\cos (2 θ) + \sin^{2} (θ) = 0$ vrai.

Aucune solution