Algèbre Exemples

$\frac{\frac{r + 6}{r} - \frac{1}{r + 2}}{\frac{r^{2} + 4 r + 3}{r^{2} + 2 r}}$

Étape 1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$(\frac{r + 6}{r} - \frac{1}{r + 2}) \frac{r^{2} + 2 r}{r^{2} + 4 r + 3}$

Étape 2

Factorisez $r$ à partir de $r^{2} + 2 r$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Factorisez $r$ à partir de $r^{2}$ .

$(\frac{r + 6}{r} - \frac{1}{r + 2}) \frac{r \cdot r + 2 r}{r^{2} + 4 r + 3}$

Étape 2.2

Factorisez $r$ à partir de $2 r$ .

$(\frac{r + 6}{r} - \frac{1}{r + 2}) \frac{r \cdot r + r \cdot 2}{r^{2} + 4 r + 3}$

Étape 2.3

Factorisez $r$ à partir de $r \cdot r + r \cdot 2$ .

$(\frac{r + 6}{r} - \frac{1}{r + 2}) \frac{r (r + 2)}{r^{2} + 4 r + 3}$

Étape 3

Factorisez $r^{2} + 4 r + 3$ à l’aide de la méthode AC.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $3$ et dont la somme est $4$ .

$1, 3$

Étape 3.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(\frac{r + 6}{r} - \frac{1}{r + 2}) \frac{r (r + 2)}{(r + 1) (r + 3)}$

Étape 4

Pour écrire $\frac{r + 6}{r}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{r + 2}{r + 2}$ .

$(\frac{r + 6}{r} \cdot \frac{r + 2}{r + 2} - \frac{1}{r + 2}) \frac{r (r + 2)}{(r + 1) (r + 3)}$

Étape 5

Pour écrire $- \frac{1}{r + 2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{r}{r}$ .

$(\frac{r + 6}{r} \cdot \frac{r + 2}{r + 2} - \frac{1}{r + 2} \cdot \frac{r}{r}) \frac{r (r + 2)}{(r + 1) (r + 3)}$

Étape 6

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $r (r + 2)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Multipliez $\frac{r + 6}{r}$ par $\frac{r + 2}{r + 2}$ .

$(\frac{(r + 6) (r + 2)}{r (r + 2)} - \frac{1}{r + 2} \cdot \frac{r}{r}) \frac{r (r + 2)}{(r + 1) (r + 3)}$

Étape 6.2

Multipliez $\frac{1}{r + 2}$ par $\frac{r}{r}$ .

$(\frac{(r + 6) (r + 2)}{r (r + 2)} - \frac{r}{(r + 2) r}) \frac{r (r + 2)}{(r + 1) (r + 3)}$

Étape 6.3

Réorganisez les facteurs de $(r + 2) r$ .

$(\frac{(r + 6) (r + 2)}{r (r + 2)} - \frac{r}{r (r + 2)}) \frac{r (r + 2)}{(r + 1) (r + 3)}$

Étape 7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(r + 6) (r + 2) - r}{r (r + 2)} \cdot \frac{r (r + 2)}{(r + 1) (r + 3)}$

Étape 8

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Développez $(r + 6) (r + 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{r (r + 2) + 6 (r + 2) - r}{r (r + 2)} \cdot \frac{r (r + 2)}{(r + 1) (r + 3)}$

Étape 8.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{r \cdot r + r \cdot 2 + 6 (r + 2) - r}{r (r + 2)} \cdot \frac{r (r + 2)}{(r + 1) (r + 3)}$

Étape 8.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{r \cdot r + r \cdot 2 + 6 r + 6 \cdot 2 - r}{r (r + 2)} \cdot \frac{r (r + 2)}{(r + 1) (r + 3)}$

Étape 8.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1.1

Multipliez $r$ par $r$ .

$\frac{r^{2} + r \cdot 2 + 6 r + 6 \cdot 2 - r}{r (r + 2)} \cdot \frac{r (r + 2)}{(r + 1) (r + 3)}$

Étape 8.2.1.2

Déplacez $2$ à gauche de $r$ .

$\frac{r^{2} + 2 \cdot r + 6 r + 6 \cdot 2 - r}{r (r + 2)} \cdot \frac{r (r + 2)}{(r + 1) (r + 3)}$

Étape 8.2.1.3

Multipliez $6$ par $2$ .

$\frac{r^{2} + 2 r + 6 r + 12 - r}{r (r + 2)} \cdot \frac{r (r + 2)}{(r + 1) (r + 3)}$

Étape 8.2.2

Additionnez $2 r$ et $6 r$ .

$\frac{r^{2} + 8 r + 12 - r}{r (r + 2)} \cdot \frac{r (r + 2)}{(r + 1) (r + 3)}$

Étape 8.3

Soustrayez $r$ de $8 r$ .

$\frac{r^{2} + 7 r + 12}{r (r + 2)} \cdot \frac{r (r + 2)}{(r + 1) (r + 3)}$

Étape 8.4

Factorisez $r^{2} + 7 r + 12$ à l’aide de la méthode AC.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.4.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $12$ et dont la somme est $7$ .

$3, 4$

Étape 8.4.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(r + 3) (r + 4)}{r (r + 2)} \cdot \frac{r (r + 2)}{(r + 1) (r + 3)}$

Étape 9

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1

Annulez le facteur commun de $r + 3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1.1

Factorisez $r + 3$ à partir de $(r + 1) (r + 3)$ .

$\frac{(r + 3) (r + 4)}{r (r + 2)} \cdot \frac{r (r + 2)}{(r + 3) (r + 1)}$

Étape 9.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(r + 3) (r + 4)}{r (r + 2)} \cdot \frac{r (r + 2)}{(r + 3) (r + 1)}$

Étape 9.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{r + 4}{r (r + 2)} \cdot \frac{r (r + 2)}{r + 1}$

Étape 9.2

Annulez le facteur commun de $r (r + 2)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{r + 4}{r (r + 2)} \cdot \frac{r (r + 2)}{r + 1}$

Étape 9.2.2

Réécrivez l’expression.

$(r + 4) \frac{1}{r + 1}$

Étape 9.3

Multipliez $r + 4$ par $\frac{1}{r + 1}$ .

$\frac{r + 4}{r + 1}$