Algèbre Exemples

$\frac{3 x + 2 y}{x^{2} + 3 x y - 10 y^{2}} - \frac{5 x + y}{x^{2} + 4 x y - 5 y^{2}} + \frac{4 x - y}{x^{2} - 3 x y + 2 y^{2}}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 1.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 1 \cdot - 10 = - 10$ et dont la somme est $b = 3$ .

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Étape 1.1.1.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{3 x + 2 y}{x^{2} - 10 y^{2} + 3 x y} - \frac{5 x + y}{x^{2} + 4 x y - 5 y^{2}} + \frac{4 x - y}{x^{2} - 3 x y + 2 y^{2}}$

Étape 1.1.1.2

Remettez dans l’ordre $- 10 y^{2}$ et $3 x y$ .

$\frac{3 x + 2 y}{x^{2} + 3 x y - 10 y^{2}} - \frac{5 x + y}{x^{2} + 4 x y - 5 y^{2}} + \frac{4 x - y}{x^{2} - 3 x y + 2 y^{2}}$

Étape 1.1.1.3

Factorisez $3$ à partir de $3 x y$ .

$\frac{3 x + 2 y}{x^{2} + 3 (x y) - 10 y^{2}} - \frac{5 x + y}{x^{2} + 4 x y - 5 y^{2}} + \frac{4 x - y}{x^{2} - 3 x y + 2 y^{2}}$

Étape 1.1.1.4

Réécrivez $3$ comme $- 2$ plus $5$

$\frac{3 x + 2 y}{x^{2} + (- 2 + 5) (x y) - 10 y^{2}} - \frac{5 x + y}{x^{2} + 4 x y - 5 y^{2}} + \frac{4 x - y}{x^{2} - 3 x y + 2 y^{2}}$

Étape 1.1.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 x + 2 y}{x^{2} - 2 (x y) + 5 (x y) - 10 y^{2}} - \frac{5 x + y}{x^{2} + 4 x y - 5 y^{2}} + \frac{4 x - y}{x^{2} - 3 x y + 2 y^{2}}$

Étape 1.1.1.6

Déplacez les parenthèses.

$\frac{3 x + 2 y}{x^{2} - 2 x y + 5 x y - 10 y^{2}} - \frac{5 x + y}{x^{2} + 4 x y - 5 y^{2}} + \frac{4 x - y}{x^{2} - 3 x y + 2 y^{2}}$

Étape 1.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 1.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{3 x + 2 y}{(x^{2} - 2 x y) + 5 x y - 10 y^{2}} - \frac{5 x + y}{x^{2} + 4 x y - 5 y^{2}} + \frac{4 x - y}{x^{2} - 3 x y + 2 y^{2}}$

Étape 1.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{3 x + 2 y}{x (x - 2 y) + 5 y (x - 2 y)} - \frac{5 x + y}{x^{2} + 4 x y - 5 y^{2}} + \frac{4 x - y}{x^{2} - 3 x y + 2 y^{2}}$

Étape 1.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $x - 2 y$ .

$\frac{3 x + 2 y}{(x - 2 y) (x + 5 y)} - \frac{5 x + y}{x^{2} + 4 x y - 5 y^{2}} + \frac{4 x - y}{x^{2} - 3 x y + 2 y^{2}}$

Étape 1.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.2.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 1.2.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 1 \cdot - 5 = - 5$ et dont la somme est $b = 4$ .

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Étape 1.2.1.1.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{3 x + 2 y}{(x - 2 y) (x + 5 y)} - \frac{5 x + y}{x^{2} - 5 y^{2} + 4 x y} + \frac{4 x - y}{x^{2} - 3 x y + 2 y^{2}}$

Étape 1.2.1.1.2

Remettez dans l’ordre $- 5 y^{2}$ et $4 x y$ .

$\frac{3 x + 2 y}{(x - 2 y) (x + 5 y)} - \frac{5 x + y}{x^{2} + 4 x y - 5 y^{2}} + \frac{4 x - y}{x^{2} - 3 x y + 2 y^{2}}$

Étape 1.2.1.1.3

Factorisez $4$ à partir de $4 x y$ .

$\frac{3 x + 2 y}{(x - 2 y) (x + 5 y)} - \frac{5 x + y}{x^{2} + 4 (x y) - 5 y^{2}} + \frac{4 x - y}{x^{2} - 3 x y + 2 y^{2}}$

Étape 1.2.1.1.4

Réécrivez $4$ comme $- 1$ plus $5$

$\frac{3 x + 2 y}{(x - 2 y) (x + 5 y)} - \frac{5 x + y}{x^{2} + (- 1 + 5) (x y) - 5 y^{2}} + \frac{4 x - y}{x^{2} - 3 x y + 2 y^{2}}$

Étape 1.2.1.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 x + 2 y}{(x - 2 y) (x + 5 y)} - \frac{5 x + y}{x^{2} - 1 (x y) + 5 (x y) - 5 y^{2}} + \frac{4 x - y}{x^{2} - 3 x y + 2 y^{2}}$

Étape 1.2.1.1.6

Déplacez les parenthèses.

$\frac{3 x + 2 y}{(x - 2 y) (x + 5 y)} - \frac{5 x + y}{x^{2} - 1 x y + 5 x y - 5 y^{2}} + \frac{4 x - y}{x^{2} - 3 x y + 2 y^{2}}$

Étape 1.2.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 1.2.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{3 x + 2 y}{(x - 2 y) (x + 5 y)} - \frac{5 x + y}{(x^{2} - 1 x y) + 5 x y - 5 y^{2}} + \frac{4 x - y}{x^{2} - 3 x y + 2 y^{2}}$

Étape 1.2.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{3 x + 2 y}{(x - 2 y) (x + 5 y)} - \frac{5 x + y}{x (x - 1 y) + 5 y (x - y)} + \frac{4 x - y}{x^{2} - 3 x y + 2 y^{2}}$

Étape 1.2.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $x - 1 y$ .

$\frac{3 x + 2 y}{(x - 2 y) (x + 5 y)} - \frac{5 x + y}{(x - 1 y) (x + 5 y)} + \frac{4 x - y}{x^{2} - 3 x y + 2 y^{2}}$

Étape 1.2.2

Réécrivez $- 1 y$ comme $- y$ .

$\frac{3 x + 2 y}{(x - 2 y) (x + 5 y)} - \frac{5 x + y}{(x - y) (x + 5 y)} + \frac{4 x - y}{x^{2} - 3 x y + 2 y^{2}}$

Étape 1.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.3.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 1.3.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 1 \cdot 2 = 2$ et dont la somme est $b = - 3$ .

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Étape 1.3.1.1.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{3 x + 2 y}{(x - 2 y) (x + 5 y)} - \frac{5 x + y}{(x - y) (x + 5 y)} + \frac{4 x - y}{x^{2} + 2 y^{2} - 3 x y}$

Étape 1.3.1.1.2

Remettez dans l’ordre $2 y^{2}$ et $- 3 x y$ .

$\frac{3 x + 2 y}{(x - 2 y) (x + 5 y)} - \frac{5 x + y}{(x - y) (x + 5 y)} + \frac{4 x - y}{x^{2} - 3 x y + 2 y^{2}}$

Étape 1.3.1.1.3

Factorisez $- 3$ à partir de $- 3 x y$ .

$\frac{3 x + 2 y}{(x - 2 y) (x + 5 y)} - \frac{5 x + y}{(x - y) (x + 5 y)} + \frac{4 x - y}{x^{2} - 3 (x y) + 2 y^{2}}$

Étape 1.3.1.1.4

Réécrivez $- 3$ comme $- 1$ plus $- 2$

$\frac{3 x + 2 y}{(x - 2 y) (x + 5 y)} - \frac{5 x + y}{(x - y) (x + 5 y)} + \frac{4 x - y}{x^{2} + (- 1 - 2) (x y) + 2 y^{2}}$

Étape 1.3.1.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 x + 2 y}{(x - 2 y) (x + 5 y)} - \frac{5 x + y}{(x - y) (x + 5 y)} + \frac{4 x - y}{x^{2} - 1 (x y) - 2 (x y) + 2 y^{2}}$

Étape 1.3.1.1.6

Déplacez les parenthèses.

$\frac{3 x + 2 y}{(x - 2 y) (x + 5 y)} - \frac{5 x + y}{(x - y) (x + 5 y)} + \frac{4 x - y}{x^{2} - 1 x y - 2 x y + 2 y^{2}}$

Étape 1.3.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 1.3.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{3 x + 2 y}{(x - 2 y) (x + 5 y)} - \frac{5 x + y}{(x - y) (x + 5 y)} + \frac{4 x - y}{(x^{2} - 1 x y) - 2 x y + 2 y^{2}}$

Étape 1.3.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{3 x + 2 y}{(x - 2 y) (x + 5 y)} - \frac{5 x + y}{(x - y) (x + 5 y)} + \frac{4 x - y}{x (x - 1 y) - 2 y (x - y)}$

Étape 1.3.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $x - 1 y$ .

$\frac{3 x + 2 y}{(x - 2 y) (x + 5 y)} - \frac{5 x + y}{(x - y) (x + 5 y)} + \frac{4 x - y}{(x - 1 y) (x - 2 y)}$

Étape 1.3.2

Réécrivez $- 1 y$ comme $- y$ .

$\frac{3 x + 2 y}{(x - 2 y) (x + 5 y)} - \frac{5 x + y}{(x - y) (x + 5 y)} + \frac{4 x - y}{(x - y) (x - 2 y)}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{3 x + 2 y}{(x - 2 y) (x + 5 y)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - y}{x - y}$ .

$\frac{3 x + 2 y}{(x - 2 y) (x + 5 y)} \cdot \frac{x - y}{x - y} - \frac{5 x + y}{(x - y) (x + 5 y)} + \frac{4 x - y}{(x - y) (x - 2 y)}$

Étape 3

Pour écrire $- \frac{5 x + y}{(x - y) (x + 5 y)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 2 y}{x - 2 y}$ .

$\frac{3 x + 2 y}{(x - 2 y) (x + 5 y)} \cdot \frac{x - y}{x - y} - \frac{5 x + y}{(x - y) (x + 5 y)} \cdot \frac{x - 2 y}{x - 2 y} + \frac{4 x - y}{(x - y) (x - 2 y)}$

Étape 4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x - 2 y) (x + 5 y) (x - y)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{3 x + 2 y}{(x - 2 y) (x + 5 y)}$ par $\frac{x - y}{x - y}$ .

$\frac{(3 x + 2 y) (x - y)}{(x - 2 y) (x + 5 y) (x - y)} - \frac{5 x + y}{(x - y) (x + 5 y)} \cdot \frac{x - 2 y}{x - 2 y} + \frac{4 x - y}{(x - y) (x - 2 y)}$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{5 x + y}{(x - y) (x + 5 y)}$ par $\frac{x - 2 y}{x - 2 y}$ .

$\frac{(3 x + 2 y) (x - y)}{(x - 2 y) (x + 5 y) (x - y)} - \frac{(5 x + y) (x - 2 y)}{(x - y) (x + 5 y) (x - 2 y)} + \frac{4 x - y}{(x - y) (x - 2 y)}$

Étape 4.3

Réorganisez les facteurs de $(x - 2 y) (x + 5 y) (x - y)$ .

$\frac{(3 x + 2 y) (x - y)}{(x + 5 y) (x - 2 y) (x - y)} - \frac{(5 x + y) (x - 2 y)}{(x - y) (x + 5 y) (x - 2 y)} + \frac{4 x - y}{(x - y) (x - 2 y)}$

Étape 4.4

Réorganisez les facteurs de $(x - y) (x + 5 y) (x - 2 y)$ .

$\frac{(3 x + 2 y) (x - y)}{(x + 5 y) (x - 2 y) (x - y)} - \frac{(5 x + y) (x - 2 y)}{(x + 5 y) (x - 2 y) (x - y)} + \frac{4 x - y}{(x - y) (x - 2 y)}$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(3 x + 2 y) (x - y) - (5 x + y) (x - 2 y)}{(x + 5 y) (x - 2 y) (x - y)} + \frac{4 x - y}{(x - y) (x - 2 y)}$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Développez $(3 x + 2 y) (x - y)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 x (x - y) + 2 y (x - y) - (5 x + y) (x - 2 y)}{(x + 5 y) (x - 2 y) (x - y)} + \frac{4 x - y}{(x - y) (x - 2 y)}$

Étape 6.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 x \cdot x + 3 x (- y) + 2 y (x - y) - (5 x + y) (x - 2 y)}{(x + 5 y) (x - 2 y) (x - y)} + \frac{4 x - y}{(x - y) (x - 2 y)}$

Étape 6.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 x \cdot x + 3 x (- y) + 2 y x + 2 y (- y) - (5 x + y) (x - 2 y)}{(x + 5 y) (x - 2 y) (x - y)} + \frac{4 x - y}{(x - y) (x - 2 y)}$

Étape 6.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.2.1.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{3 (x \cdot x) + 3 x (- y) + 2 y x + 2 y (- y) - (5 x + y) (x - 2 y)}{(x + 5 y) (x - 2 y) (x - y)} + \frac{4 x - y}{(x - y) (x - 2 y)}$

Étape 6.2.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{3 x^{2} + 3 x (- y) + 2 y x + 2 y (- y) - (5 x + y) (x - 2 y)}{(x + 5 y) (x - 2 y) (x - y)} + \frac{4 x - y}{(x - y) (x - 2 y)}$

Étape 6.2.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{3 x^{2} + 3 \cdot - 1 x y + 2 y x + 2 y (- y) - (5 x + y) (x - 2 y)}{(x + 5 y) (x - 2 y) (x - y)} + \frac{4 x - y}{(x - y) (x - 2 y)}$

Étape 6.2.1.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{3 x^{2} - 3 x y + 2 y x + 2 y (- y) - (5 x + y) (x - 2 y)}{(x + 5 y) (x - 2 y) (x - y)} + \frac{4 x - y}{(x - y) (x - 2 y)}$

Étape 6.2.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{3 x^{2} - 3 x y + 2 y x + 2 \cdot - 1 y \cdot y - (5 x + y) (x - 2 y)}{(x + 5 y) (x - 2 y) (x - y)} + \frac{4 x - y}{(x - y) (x - 2 y)}$

Étape 6.2.1.5

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.2.1.5.1

Déplacez $y$ .

$\frac{3 x^{2} - 3 x y + 2 y x + 2 \cdot - 1 (y \cdot y) - (5 x + y) (x - 2 y)}{(x + 5 y) (x - 2 y) (x - y)} + \frac{4 x - y}{(x - y) (x - 2 y)}$

Étape 6.2.1.5.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$\frac{3 x^{2} - 3 x y + 2 y x + 2 \cdot - 1 y^{2} - (5 x + y) (x - 2 y)}{(x + 5 y) (x - 2 y) (x - y)} + \frac{4 x - y}{(x - y) (x - 2 y)}$

Étape 6.2.1.6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{3 x^{2} - 3 x y + 2 y x - 2 y^{2} - (5 x + y) (x - 2 y)}{(x + 5 y) (x - 2 y) (x - y)} + \frac{4 x - y}{(x - y) (x - 2 y)}$

Étape 6.2.2

Additionnez $- 3 x y$ et $2 y x$ .

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Étape 6.2.2.1

Déplacez $y$ .

$\frac{3 x^{2} - 3 x y + 2 x y - 2 y^{2} - (5 x + y) (x - 2 y)}{(x + 5 y) (x - 2 y) (x - y)} + \frac{4 x - y}{(x - y) (x - 2 y)}$

Étape 6.2.2.2

Additionnez $- 3 x y$ et $2 x y$ .

$\frac{3 x^{2} - x y - 2 y^{2} - (5 x + y) (x - 2 y)}{(x + 5 y) (x - 2 y) (x - y)} + \frac{4 x - y}{(x - y) (x - 2 y)}$

Étape 6.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 x^{2} - x y - 2 y^{2} + (- (5 x) - y) (x - 2 y)}{(x + 5 y) (x - 2 y) (x - y)} + \frac{4 x - y}{(x - y) (x - 2 y)}$

Étape 6.4

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$\frac{3 x^{2} - x y - 2 y^{2} + (- 5 x - y) (x - 2 y)}{(x + 5 y) (x - 2 y) (x - y)} + \frac{4 x - y}{(x - y) (x - 2 y)}$

Étape 6.5

Développez $(- 5 x - y) (x - 2 y)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 x^{2} - x y - 2 y^{2} - 5 x (x - 2 y) - y (x - 2 y)}{(x + 5 y) (x - 2 y) (x - y)} + \frac{4 x - y}{(x - y) (x - 2 y)}$

Étape 6.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 x^{2} - x y - 2 y^{2} - 5 x \cdot x - 5 x (- 2 y) - y (x - 2 y)}{(x + 5 y) (x - 2 y) (x - y)} + \frac{4 x - y}{(x - y) (x - 2 y)}$

Étape 6.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 x^{2} - x y - 2 y^{2} - 5 x \cdot x - 5 x (- 2 y) - y x - y (- 2 y)}{(x + 5 y) (x - 2 y) (x - y)} + \frac{4 x - y}{(x - y) (x - 2 y)}$

Étape 6.6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.6.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.6.1.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{3 x^{2} - x y - 2 y^{2} - 5 (x \cdot x) - 5 x (- 2 y) - y x - y (- 2 y)}{(x + 5 y) (x - 2 y) (x - y)} + \frac{4 x - y}{(x - y) (x - 2 y)}$

Étape 6.6.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{3 x^{2} - x y - 2 y^{2} - 5 x^{2} - 5 x (- 2 y) - y x - y (- 2 y)}{(x + 5 y) (x - 2 y) (x - y)} + \frac{4 x - y}{(x - y) (x - 2 y)}$

Étape 6.6.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{3 x^{2} - x y - 2 y^{2} - 5 x^{2} - 5 \cdot - 2 x y - y x - y (- 2 y)}{(x + 5 y) (x - 2 y) (x - y)} + \frac{4 x - y}{(x - y) (x - 2 y)}$

Étape 6.6.1.3

Multipliez $- 5$ par $- 2$ .

$\frac{3 x^{2} - x y - 2 y^{2} - 5 x^{2} + 10 x y - y x - y (- 2 y)}{(x + 5 y) (x - 2 y) (x - y)} + \frac{4 x - y}{(x - y) (x - 2 y)}$

Étape 6.6.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{3 x^{2} - x y - 2 y^{2} - 5 x^{2} + 10 x y - y x - 1 \cdot - 2 y \cdot y}{(x + 5 y) (x - 2 y) (x - y)} + \frac{4 x - y}{(x - y) (x - 2 y)}$

Étape 6.6.1.5

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.6.1.5.1

Déplacez $y$ .

$\frac{3 x^{2} - x y - 2 y^{2} - 5 x^{2} + 10 x y - y x - 1 \cdot - 2 (y \cdot y)}{(x + 5 y) (x - 2 y) (x - y)} + \frac{4 x - y}{(x - y) (x - 2 y)}$

Étape 6.6.1.5.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$\frac{3 x^{2} - x y - 2 y^{2} - 5 x^{2} + 10 x y - y x - 1 \cdot - 2 y^{2}}{(x + 5 y) (x - 2 y) (x - y)} + \frac{4 x - y}{(x - y) (x - 2 y)}$

Étape 6.6.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$\frac{3 x^{2} - x y - 2 y^{2} - 5 x^{2} + 10 x y - y x + 2 y^{2}}{(x + 5 y) (x - 2 y) (x - y)} + \frac{4 x - y}{(x - y) (x - 2 y)}$

Étape 6.6.2

Soustrayez $y x$ de $10 x y$ .

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Étape 6.6.2.1

Déplacez $y$ .

$\frac{3 x^{2} - x y - 2 y^{2} - 5 x^{2} + 10 x y - 1 x y + 2 y^{2}}{(x + 5 y) (x - 2 y) (x - y)} + \frac{4 x - y}{(x - y) (x - 2 y)}$

Étape 6.6.2.2

Soustrayez $x y$ de $10 x y$ .

$\frac{3 x^{2} - x y - 2 y^{2} - 5 x^{2} + 9 x y + 2 y^{2}}{(x + 5 y) (x - 2 y) (x - y)} + \frac{4 x - y}{(x - y) (x - 2 y)}$

Étape 6.7

Soustrayez $5 x^{2}$ de $3 x^{2}$ .

$\frac{- 2 x^{2} - x y - 2 y^{2} + 9 x y + 2 y^{2}}{(x + 5 y) (x - 2 y) (x - y)} + \frac{4 x - y}{(x - y) (x - 2 y)}$

Étape 6.8

Additionnez $- x y$ et $9 x y$ .

$\frac{- 2 x^{2} - 2 y^{2} + 8 x y + 2 y^{2}}{(x + 5 y) (x - 2 y) (x - y)} + \frac{4 x - y}{(x - y) (x - 2 y)}$

Étape 6.9

Additionnez $- 2 y^{2}$ et $2 y^{2}$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 8 x y + 0}{(x + 5 y) (x - 2 y) (x - y)} + \frac{4 x - y}{(x - y) (x - 2 y)}$

Étape 6.10

Additionnez $- 2 x^{2} + 8 x y$ et $0$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 8 x y}{(x + 5 y) (x - 2 y) (x - y)} + \frac{4 x - y}{(x - y) (x - 2 y)}$

Étape 6.11

Factorisez $2 x$ à partir de $- 2 x^{2} + 8 x y$ .

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Étape 6.11.1

Factorisez $2 x$ à partir de $- 2 x^{2}$ .

$\frac{2 x (- x) + 8 x y}{(x + 5 y) (x - 2 y) (x - y)} + \frac{4 x - y}{(x - y) (x - 2 y)}$

Étape 6.11.2

Factorisez $2 x$ à partir de $8 x y$ .

$\frac{2 x (- x) + 2 x (4 y)}{(x + 5 y) (x - 2 y) (x - y)} + \frac{4 x - y}{(x - y) (x - 2 y)}$

Étape 6.11.3

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x (- x) + 2 x (4 y)$ .

$\frac{2 x (- x + 4 y)}{(x + 5 y) (x - 2 y) (x - y)} + \frac{4 x - y}{(x - y) (x - 2 y)}$

Étape 7

Pour écrire $\frac{4 x - y}{(x - y) (x - 2 y)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + 5 y}{x + 5 y}$ .

$\frac{2 x (- x + 4 y)}{(x + 5 y) (x - 2 y) (x - y)} + \frac{4 x - y}{(x - y) (x - 2 y)} \cdot \frac{x + 5 y}{x + 5 y}$

Étape 8

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x + 5 y) (x - 2 y) (x - y)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 8.1

Multipliez $\frac{4 x - y}{(x - y) (x - 2 y)}$ par $\frac{x + 5 y}{x + 5 y}$ .

$\frac{2 x (- x + 4 y)}{(x + 5 y) (x - 2 y) (x - y)} + \frac{(4 x - y) (x + 5 y)}{(x - y) (x - 2 y) (x + 5 y)}$

Étape 8.2

Réorganisez les facteurs de $(x - y) (x - 2 y) (x + 5 y)$ .

$\frac{2 x (- x + 4 y)}{(x + 5 y) (x - 2 y) (x - y)} + \frac{(4 x - y) (x + 5 y)}{(x + 5 y) (x - 2 y) (x - y)}$

Étape 9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 x (- x + 4 y) + (4 x - y) (x + 5 y)}{(x + 5 y) (x - 2 y) (x - y)}$

Étape 10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x (- x) + 2 x (4 y) + (4 x - y) (x + 5 y)}{(x + 5 y) (x - 2 y) (x - y)}$

Étape 10.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{2 \cdot - 1 x \cdot x + 2 x (4 y) + (4 x - y) (x + 5 y)}{(x + 5 y) (x - 2 y) (x - y)}$

Étape 10.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{2 \cdot - 1 x \cdot x + 2 \cdot 4 x y + (4 x - y) (x + 5 y)}{(x + 5 y) (x - 2 y) (x - y)}$

Étape 10.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.4.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 10.4.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 \cdot - 1 (x \cdot x) + 2 \cdot 4 x y + (4 x - y) (x + 5 y)}{(x + 5 y) (x - 2 y) (x - y)}$

Étape 10.4.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{2 \cdot - 1 x^{2} + 2 \cdot 4 x y + (4 x - y) (x + 5 y)}{(x + 5 y) (x - 2 y) (x - y)}$

Étape 10.4.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 2 \cdot 4 x y + (4 x - y) (x + 5 y)}{(x + 5 y) (x - 2 y) (x - y)}$

Étape 10.4.3

Multipliez $2$ par $4$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 8 x y + (4 x - y) (x + 5 y)}{(x + 5 y) (x - 2 y) (x - y)}$

Étape 10.5

Développez $(4 x - y) (x + 5 y)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 10.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 2 x^{2} + 8 x y + 4 x (x + 5 y) - y (x + 5 y)}{(x + 5 y) (x - 2 y) (x - y)}$

Étape 10.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 2 x^{2} + 8 x y + 4 x \cdot x + 4 x (5 y) - y (x + 5 y)}{(x + 5 y) (x - 2 y) (x - y)}$

Étape 10.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 2 x^{2} + 8 x y + 4 x \cdot x + 4 x (5 y) - y x - y (5 y)}{(x + 5 y) (x - 2 y) (x - y)}$

Étape 10.6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 10.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.6.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 10.6.1.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 8 x y + 4 (x \cdot x) + 4 x (5 y) - y x - y (5 y)}{(x + 5 y) (x - 2 y) (x - y)}$

Étape 10.6.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 8 x y + 4 x^{2} + 4 x (5 y) - y x - y (5 y)}{(x + 5 y) (x - 2 y) (x - y)}$

Étape 10.6.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{- 2 x^{2} + 8 x y + 4 x^{2} + 4 \cdot 5 x y - y x - y (5 y)}{(x + 5 y) (x - 2 y) (x - y)}$

Étape 10.6.1.3

Multipliez $4$ par $5$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 8 x y + 4 x^{2} + 20 x y - y x - y (5 y)}{(x + 5 y) (x - 2 y) (x - y)}$

Étape 10.6.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{- 2 x^{2} + 8 x y + 4 x^{2} + 20 x y - y x - 1 \cdot 5 y \cdot y}{(x + 5 y) (x - 2 y) (x - y)}$

Étape 10.6.1.5

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 10.6.1.5.1

Déplacez $y$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 8 x y + 4 x^{2} + 20 x y - y x - 1 \cdot 5 (y \cdot y)}{(x + 5 y) (x - 2 y) (x - y)}$

Étape 10.6.1.5.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 8 x y + 4 x^{2} + 20 x y - y x - 1 \cdot 5 y^{2}}{(x + 5 y) (x - 2 y) (x - y)}$

Étape 10.6.1.6

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 8 x y + 4 x^{2} + 20 x y - y x - 5 y^{2}}{(x + 5 y) (x - 2 y) (x - y)}$

Étape 10.6.2

Soustrayez $y x$ de $20 x y$ .

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Étape 10.6.2.1

Déplacez $y$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 8 x y + 4 x^{2} + 20 x y - 1 x y - 5 y^{2}}{(x + 5 y) (x - 2 y) (x - y)}$

Étape 10.6.2.2

Soustrayez $x y$ de $20 x y$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 8 x y + 4 x^{2} + 19 x y - 5 y^{2}}{(x + 5 y) (x - 2 y) (x - y)}$

Étape 10.7

Additionnez $- 2 x^{2}$ et $4 x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2} + 8 x y + 19 x y - 5 y^{2}}{(x + 5 y) (x - 2 y) (x - y)}$

Étape 10.8

Additionnez $8 x y$ et $19 x y$ .

$\frac{2 x^{2} + 27 x y - 5 y^{2}}{(x + 5 y) (x - 2 y) (x - y)}$