Algèbre Exemples

$\sqrt{1 + x \sqrt{x^{2} + 24}} = x + 1$

Étape 1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{1 + x \sqrt{x^{2} + 24}}}^{2} = {(x + 1)}^{2}$

Étape 2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{1 + x \sqrt{x^{2} + 24}}$ comme ${(1 + x \sqrt{x^{2} + 24})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(1 + x \sqrt{x^{2} + 24})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + 1)}^{2}$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Simplifiez ${({(1 + x \sqrt{x^{2} + 24})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(1 + x \sqrt{x^{2} + 24})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(1 + x \sqrt{x^{2} + 24})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x + 1)}^{2}$

Étape 2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(1 + x \sqrt{x^{2} + 24})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x + 1)}^{2}$

Étape 2.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(1 + x \sqrt{x^{2} + 24})}^{1} = {(x + 1)}^{2}$

Étape 2.2.1.2

Simplifiez

$1 + x \sqrt{x^{2} + 24} = {(x + 1)}^{2}$

Étape 2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Simplifiez ${(x + 1)}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1.1

Réécrivez ${(x + 1)}^{2}$ comme $(x + 1) (x + 1)$ .

$1 + x \sqrt{x^{2} + 24} = (x + 1) (x + 1)$

Étape 2.3.1.2

Développez $(x + 1) (x + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$1 + x \sqrt{x^{2} + 24} = x (x + 1) + 1 (x + 1)$

Étape 2.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$1 + x \sqrt{x^{2} + 24} = x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1)$

Étape 2.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$1 + x \sqrt{x^{2} + 24} = x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1$

Étape 2.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$1 + x \sqrt{x^{2} + 24} = x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1$

Étape 2.3.1.3.1.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$1 + x \sqrt{x^{2} + 24} = x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1$

Étape 2.3.1.3.1.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$1 + x \sqrt{x^{2} + 24} = x^{2} + x + x + 1 \cdot 1$

Étape 2.3.1.3.1.4

Multipliez $1$ par $1$ .

$1 + x \sqrt{x^{2} + 24} = x^{2} + x + x + 1$

Étape 2.3.1.3.2

Additionnez $x$ et $x$ .

$1 + x \sqrt{x^{2} + 24} = x^{2} + 2 x + 1$

Étape 3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x \sqrt{x^{2} + 24}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x \sqrt{x^{2} + 24} = x^{2} + 2 x + 1 - 1$

Étape 3.2

Associez les termes opposés dans $x^{2} + 2 x + 1 - 1$ .

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Étape 3.2.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$x \sqrt{x^{2} + 24} = x^{2} + 2 x + 0$

Étape 3.2.2

Additionnez $x^{2} + 2 x$ et $0$ .

$x \sqrt{x^{2} + 24} = x^{2} + 2 x$

Étape 4

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${(x \sqrt{x^{2} + 24})}^{2} = {(x^{2} + 2 x)}^{2}$

Étape 5

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x^{2} + 24}$ comme ${(x^{2} + 24)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(x {(x^{2} + 24)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x^{2} + 2 x)}^{2}$

Étape 5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1

Simplifiez ${(x {(x^{2} + 24)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 5.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $x {(x^{2} + 24)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{2} {({(x^{2} + 24)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x^{2} + 2 x)}^{2}$

Étape 5.2.1.2

Multipliez les exposants dans ${({(x^{2} + 24)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 5.2.1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{2} {(x^{2} + 24)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x^{2} + 2 x)}^{2}$

Étape 5.2.1.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.1.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{2} {(x^{2} + 24)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x^{2} + 2 x)}^{2}$

Étape 5.2.1.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{2} {(x^{2} + 24)}^{1} = {(x^{2} + 2 x)}^{2}$

Étape 5.2.1.3

Simplifiez

$x^{2} (x^{2} + 24) = {(x^{2} + 2 x)}^{2}$

Étape 5.2.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 24 = {(x^{2} + 2 x)}^{2}$

Étape 5.2.1.5

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.2.1.5.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 24 = {(x^{2} + 2 x)}^{2}$

Étape 5.2.1.5.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$x^{4} + x^{2} \cdot 24 = {(x^{2} + 2 x)}^{2}$

Étape 5.2.1.6

Déplacez $24$ à gauche de $x^{2}$ .

$x^{4} + 24 x^{2} = {(x^{2} + 2 x)}^{2}$

Étape 5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.1

Simplifiez ${(x^{2} + 2 x)}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1.1

Réécrivez ${(x^{2} + 2 x)}^{2}$ comme $(x^{2} + 2 x) (x^{2} + 2 x)$ .

$x^{4} + 24 x^{2} = (x^{2} + 2 x) (x^{2} + 2 x)$

Étape 5.3.1.2

Développez $(x^{2} + 2 x) (x^{2} + 2 x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$x^{4} + 24 x^{2} = x^{2} (x^{2} + 2 x) + 2 x (x^{2} + 2 x)$

Étape 5.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$x^{4} + 24 x^{2} = x^{2} x^{2} + x^{2} (2 x) + 2 x (x^{2} + 2 x)$

Étape 5.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$x^{4} + 24 x^{2} = x^{2} x^{2} + x^{2} (2 x) + 2 x \cdot x^{2} + 2 x (2 x)$

Étape 5.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1.3.1.1

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1.3.1.1.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{4} + 24 x^{2} = x^{2 + 2} + x^{2} (2 x) + 2 x \cdot x^{2} + 2 x (2 x)$

Étape 5.3.1.3.1.1.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$x^{4} + 24 x^{2} = x^{4} + x^{2} (2 x) + 2 x \cdot x^{2} + 2 x (2 x)$

Étape 5.3.1.3.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x^{4} + 24 x^{2} = x^{4} + 2 x^{2} x + 2 x \cdot x^{2} + 2 x (2 x)$

Étape 5.3.1.3.1.3

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1.3.1.3.1

Déplacez $x$ .

$x^{4} + 24 x^{2} = x^{4} + 2 (x \cdot x^{2}) + 2 x \cdot x^{2} + 2 x (2 x)$

Étape 5.3.1.3.1.3.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1.3.1.3.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{4} + 24 x^{2} = x^{4} + 2 (x^{1} x^{2}) + 2 x \cdot x^{2} + 2 x (2 x)$

Étape 5.3.1.3.1.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{4} + 24 x^{2} = x^{4} + 2 x^{1 + 2} + 2 x \cdot x^{2} + 2 x (2 x)$

Étape 5.3.1.3.1.3.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$x^{4} + 24 x^{2} = x^{4} + 2 x^{3} + 2 x \cdot x^{2} + 2 x (2 x)$

Étape 5.3.1.3.1.4

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.3.1.3.1.4.1

Déplacez $x^{2}$ .

$x^{4} + 24 x^{2} = x^{4} + 2 x^{3} + 2 (x^{2} x) + 2 x (2 x)$

Étape 5.3.1.3.1.4.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 5.3.1.3.1.4.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{4} + 24 x^{2} = x^{4} + 2 x^{3} + 2 (x^{2} x^{1}) + 2 x (2 x)$

Étape 5.3.1.3.1.4.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{4} + 24 x^{2} = x^{4} + 2 x^{3} + 2 x^{2 + 1} + 2 x (2 x)$

Étape 5.3.1.3.1.4.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$x^{4} + 24 x^{2} = x^{4} + 2 x^{3} + 2 x^{3} + 2 x (2 x)$

Étape 5.3.1.3.1.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x^{4} + 24 x^{2} = x^{4} + 2 x^{3} + 2 x^{3} + 2 \cdot 2 x \cdot x$

Étape 5.3.1.3.1.6

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1.3.1.6.1

Déplacez $x$ .

$x^{4} + 24 x^{2} = x^{4} + 2 x^{3} + 2 x^{3} + 2 \cdot 2 (x \cdot x)$

Étape 5.3.1.3.1.6.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{4} + 24 x^{2} = x^{4} + 2 x^{3} + 2 x^{3} + 2 \cdot 2 x^{2}$

Étape 5.3.1.3.1.7

Multipliez $2$ par $2$ .

$x^{4} + 24 x^{2} = x^{4} + 2 x^{3} + 2 x^{3} + 4 x^{2}$

Étape 5.3.1.3.2

Additionnez $2 x^{3}$ et $2 x^{3}$ .

$x^{4} + 24 x^{2} = x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2}$

Étape 6

Résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Comme $x$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} = x^{4} + 24 x^{2}$

Étape 6.2

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 6.2.1

Soustrayez $x^{4}$ des deux côtés de l’équation.

$x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} - x^{4} = 24 x^{2}$

Étape 6.2.2

Soustrayez $24 x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} - x^{4} - 24 x^{2} = 0$

Étape 6.2.3

Associez les termes opposés dans $x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} - x^{4} - 24 x^{2}$ .

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Étape 6.2.3.1

Soustrayez $x^{4}$ de $x^{4}$ .

$4 x^{3} + 4 x^{2} + 0 - 24 x^{2} = 0$

Étape 6.2.3.2

Additionnez $4 x^{3} + 4 x^{2}$ et $0$ .

$4 x^{3} + 4 x^{2} - 24 x^{2} = 0$

Étape 6.2.4

Soustrayez $24 x^{2}$ de $4 x^{2}$ .

$4 x^{3} - 20 x^{2} = 0$

Étape 6.3

Factorisez $4 x^{2}$ à partir de $4 x^{3} - 20 x^{2}$ .

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Étape 6.3.1

Factorisez $4 x^{2}$ à partir de $4 x^{3}$ .

$4 x^{2} (x) - 20 x^{2} = 0$

Étape 6.3.2

Factorisez $4 x^{2}$ à partir de $- 20 x^{2}$ .

$4 x^{2} (x) + 4 x^{2} (- 5) = 0$

Étape 6.3.3

Factorisez $4 x^{2}$ à partir de $4 x^{2} (x) + 4 x^{2} (- 5)$ .

$4 x^{2} (x - 5) = 0$

Étape 6.4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{2} = 0$

$x - 5 = 0$

Étape 6.5

Définissez $x^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.5.1

Définissez $x^{2}$ égal à $0$ .

$x^{2} = 0$

Étape 6.5.2

Résolvez $x^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 6.5.2.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{0}$

Étape 6.5.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 6.5.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 6.5.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 6.5.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 6.6

Définissez $x - 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.6.1

Définissez $x - 5$ égal à $0$ .

$x - 5 = 0$

Étape 6.6.2

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 5$

Étape 6.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $4 x^{2} (x - 5) = 0$ vraie.

$x = 0, 5$