Algèbre Exemples

$f (x) = \frac{x^{3} - 9 x}{3 x^{2} - 6 x - 9}$

Étape 1

Déterminez les abscisses à l’origine.

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Étape 1.1

Pour déterminer la ou les abscisses à l’origine, remplacez $y$ par $0$ et résolvez $x$ .

$0 = \frac{x^{3} - 9 x}{3 x^{2} - 6 x - 9}$

Étape 1.2

Résolvez l’équation.

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Étape 1.2.1

Définissez le numérateur égal à zéro.

$x^{3} - 9 x = 0$

Étape 1.2.2

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 1.2.2.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.2.2.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3} - 9 x$ .

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Étape 1.2.2.1.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3}$ .

$x \cdot x^{2} - 9 x = 0$

Étape 1.2.2.1.1.2

Factorisez $x$ à partir de $- 9 x$ .

$x \cdot x^{2} + x \cdot - 9 = 0$

Étape 1.2.2.1.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x^{2} + x \cdot - 9$ .

$x (x^{2} - 9) = 0$

Étape 1.2.2.1.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$x (x^{2} - 3^{2}) = 0$

Étape 1.2.2.1.3

Factorisez.

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Étape 1.2.2.1.3.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 3$ .

$x ((x + 3) (x - 3)) = 0$

Étape 1.2.2.1.3.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$x (x + 3) (x - 3) = 0$

Étape 1.2.2.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

Étape 1.2.2.3

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 1.2.2.4

Définissez $x + 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.2.4.1

Définissez $x + 3$ égal à $0$ .

$x + 3 = 0$

Étape 1.2.2.4.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 3$

Étape 1.2.2.5

Définissez $x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.2.5.1

Définissez $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 1.2.2.5.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 1.2.2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x (x + 3) (x - 3) = 0$ vraie.

$x = 0, - 3, 3$

Étape 1.2.3

Excluez les solutions qui ne rendent pas $0 = \frac{x^{3} - 9 x}{3 x^{2} - 6 x - 9}$ vrai.

$x = 0, - 3$

Étape 1.3

abscisse(s) à l’origine en forme de point.

abscisse(s) à l’origine : $(0, 0), (- 3, 0)$

Étape 2

Déterminez les ordonnées à l’origine.

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Étape 2.1

Pour trouver la ou les ordonnées à l’origine, remplacez $x$ par $0$ et résolvez $y$ .

$y = \frac{{(0)}^{3} - 9 \cdot 0}{3 {(0)}^{2} - 6 \cdot 0 - 9}$

Étape 2.2

Résolvez l’équation.

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Étape 2.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = \frac{0^{3} - 9 \cdot 0}{3 {(0)}^{2} - 6 \cdot 0 - 9}$

Étape 2.2.2

Supprimez les parenthèses.

$y = \frac{0^{3} - 9 \cdot 0}{3 \cdot 0^{2} - 6 \cdot 0 - 9}$

Étape 2.2.3

Supprimez les parenthèses.

$y = \frac{{(0)}^{3} - 9 \cdot 0}{3 {(0)}^{2} - 6 \cdot 0 - 9}$

Étape 2.2.4

Simplifiez $\frac{{(0)}^{3} - 9 \cdot 0}{3 {(0)}^{2} - 6 \cdot 0 - 9}$ .

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Étape 2.2.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.4.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$y = \frac{0 - 9 \cdot 0}{3 \cdot 0^{2} - 6 \cdot 0 - 9}$

Étape 2.2.4.1.2

Multipliez $- 9$ par $0$ .

$y = \frac{0 + 0}{3 \cdot 0^{2} - 6 \cdot 0 - 9}$

Étape 2.2.4.1.3

Additionnez $0$ et $0$ .

$y = \frac{0}{3 \cdot 0^{2} - 6 \cdot 0 - 9}$

Étape 2.2.4.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.2.4.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$y = \frac{0}{3 \cdot 0 - 6 \cdot 0 - 9}$

Étape 2.2.4.2.2

Multipliez $3$ par $0$ .

$y = \frac{0}{0 - 6 \cdot 0 - 9}$

Étape 2.2.4.2.3

Multipliez $- 6$ par $0$ .

$y = \frac{0}{0 + 0 - 9}$

Étape 2.2.4.2.4

Additionnez $0$ et $0$ .

$y = \frac{0}{0 - 9}$

Étape 2.2.4.2.5

Soustrayez $9$ de $0$ .

$y = \frac{0}{- 9}$

Étape 2.2.4.3

Divisez $0$ par $- 9$ .

$y = 0$

Étape 2.3

ordonnée(s) à l’origine en forme de point.

ordonnée(s) à l’origine : $(0, 0)$

Étape 3

Indiquez les intersections.

abscisse(s) à l’origine : $(0, 0), (- 3, 0)$

ordonnée(s) à l’origine : $(0, 0)$

Étape 4