Algèbre Exemples

$\frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{3} - \sqrt{5}}$

Étape 1

Multipliez $\frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{3} - \sqrt{5}}$ par $\frac{\sqrt{3} + \sqrt{5}}{\sqrt{3} + \sqrt{5}}$ .

$\frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{3} - \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{3} + \sqrt{5}}{\sqrt{3} + \sqrt{5}}$

Étape 2

Multipliez $\frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{3} - \sqrt{5}}$ par $\frac{\sqrt{3} + \sqrt{5}}{\sqrt{3} + \sqrt{5}}$ .

$\frac{(\sqrt{5} + \sqrt{3}) (\sqrt{3} + \sqrt{5})}{(\sqrt{3} - \sqrt{5}) (\sqrt{3} + \sqrt{5})}$

Étape 3

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$\frac{(\sqrt{5} + \sqrt{3}) (\sqrt{3} + \sqrt{5})}{{\sqrt{3}}^{2} + \sqrt{15} - \sqrt{15} - {\sqrt{5}}^{2}}$

Étape 4

Simplifiez

$\frac{(\sqrt{5} + \sqrt{3}) (\sqrt{3} + \sqrt{5})}{- 2}$

Étape 5

Développez $(\sqrt{5} + \sqrt{3}) (\sqrt{3} + \sqrt{5})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{5} (\sqrt{3} + \sqrt{5}) + \sqrt{3} (\sqrt{3} + \sqrt{5})}{- 2}$

Étape 5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{5} \sqrt{3} + \sqrt{5} \sqrt{5} + \sqrt{3} (\sqrt{3} + \sqrt{5})}{- 2}$

Étape 5.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{5} \sqrt{3} + \sqrt{5} \sqrt{5} + \sqrt{3} \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{5}}{- 2}$

Étape 6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{\sqrt{5 \cdot 3} + \sqrt{5} \sqrt{5} + \sqrt{3} \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{5}}{- 2}$

Étape 6.1.2

Multipliez $5$ par $3$ .

$\frac{\sqrt{15} + \sqrt{5} \sqrt{5} + \sqrt{3} \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{5}}{- 2}$

Étape 6.1.3

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{\sqrt{15} + \sqrt{5 \cdot 5} + \sqrt{3} \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{5}}{- 2}$

Étape 6.1.4

Multipliez $5$ par $5$ .

$\frac{\sqrt{15} + \sqrt{25} + \sqrt{3} \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{5}}{- 2}$

Étape 6.1.5

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$\frac{\sqrt{15} + \sqrt{5^{2}} + \sqrt{3} \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{5}}{- 2}$

Étape 6.1.6

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{\sqrt{15} + 5 + \sqrt{3} \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{5}}{- 2}$

Étape 6.1.7

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{\sqrt{15} + 5 + \sqrt{3 \cdot 3} + \sqrt{3} \sqrt{5}}{- 2}$

Étape 6.1.8

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{\sqrt{15} + 5 + \sqrt{9} + \sqrt{3} \sqrt{5}}{- 2}$

Étape 6.1.9

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{15} + 5 + \sqrt{3^{2}} + \sqrt{3} \sqrt{5}}{- 2}$

Étape 6.1.10

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{\sqrt{15} + 5 + 3 + \sqrt{3} \sqrt{5}}{- 2}$

Étape 6.1.11

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{\sqrt{15} + 5 + 3 + \sqrt{3 \cdot 5}}{- 2}$

Étape 6.1.12

Multipliez $3$ par $5$ .

$\frac{\sqrt{15} + 5 + 3 + \sqrt{15}}{- 2}$

Étape 6.2

Additionnez $\sqrt{15}$ et $\sqrt{15}$ .

$\frac{5 + 3 + 2 \sqrt{15}}{- 2}$

Étape 6.3

Additionnez $5$ et $3$ .

$\frac{8 + 2 \sqrt{15}}{- 2}$

Étape 7

Annulez le facteur commun à $8 + 2 \sqrt{15}$ et $- 2$ .

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Étape 7.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$\frac{2 (4) + 2 \sqrt{15}}{- 2}$

Étape 7.2

Factorisez $2$ à partir de $2 \sqrt{15}$ .

$\frac{2 (4) + 2 (\sqrt{15})}{- 2}$

Étape 7.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (4) + 2 (\sqrt{15})$ .

$\frac{2 (4 + \sqrt{15})}{- 2}$

Étape 7.4

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{4 + \sqrt{15}}{- 1}$ .

$- 1 \cdot (4 + \sqrt{15})$

Étape 8

Réécrivez $- 1 \cdot (4 + \sqrt{15})$ comme $- (4 + \sqrt{15})$ .

$- (4 + \sqrt{15})$

Étape 9

Appliquez la propriété distributive.

$- 1 \cdot 4 - \sqrt{15}$

Étape 10

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$- 4 - \sqrt{15}$

Étape 11

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- 4 - \sqrt{15}$

Forme décimale :

$- 7.87298334 \dots$