Algèbre Exemples

${(a + b)}^{4} - {(a - b)}^{4}$

Étape 1

Réécrivez ${(a + b)}^{4}$ comme ${({(a + b)}^{2})}^{2}$ .

${({(a + b)}^{2})}^{2} - {(a - b)}^{4}$

Étape 2

Réécrivez ${(a - b)}^{4}$ comme ${({(a - b)}^{2})}^{2}$ .

${({(a + b)}^{2})}^{2} - {({(a - b)}^{2})}^{2}$

Étape 3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = {(a + b)}^{2}$ et $b = {(a - b)}^{2}$ .

$({(a + b)}^{2} + {(a - b)}^{2}) ({(a + b)}^{2} - {(a - b)}^{2})$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Réécrivez ${(a + b)}^{2}$ comme $(a + b) (a + b)$ .

$((a + b) (a + b) + {(a - b)}^{2}) ({(a + b)}^{2} - {(a - b)}^{2})$

Étape 4.2

Développez $(a + b) (a + b)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$(a (a + b) + b (a + b) + {(a - b)}^{2}) ({(a + b)}^{2} - {(a - b)}^{2})$

Étape 4.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$(a \cdot a + a b + b (a + b) + {(a - b)}^{2}) ({(a + b)}^{2} - {(a - b)}^{2})$

Étape 4.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$(a \cdot a + a b + b a + b \cdot b + {(a - b)}^{2}) ({(a + b)}^{2} - {(a - b)}^{2})$

Étape 4.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.1.1

Multipliez $a$ par $a$ .

$(a^{2} + a b + b a + b \cdot b + {(a - b)}^{2}) ({(a + b)}^{2} - {(a - b)}^{2})$

Étape 4.3.1.2

Multipliez $b$ par $b$ .

$(a^{2} + a b + b a + b^{2} + {(a - b)}^{2}) ({(a + b)}^{2} - {(a - b)}^{2})$

Étape 4.3.2

Additionnez $a b$ et $b a$ .

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Étape 4.3.2.1

Remettez dans l’ordre $b$ et $a$ .

$(a^{2} + a b + a b + b^{2} + {(a - b)}^{2}) ({(a + b)}^{2} - {(a - b)}^{2})$

Étape 4.3.2.2

Additionnez $a b$ et $a b$ .

$(a^{2} + 2 a b + b^{2} + {(a - b)}^{2}) ({(a + b)}^{2} - {(a - b)}^{2})$

Étape 4.4

Réécrivez ${(a - b)}^{2}$ comme $(a - b) (a - b)$ .

$(a^{2} + 2 a b + b^{2} + (a - b) (a - b)) ({(a + b)}^{2} - {(a - b)}^{2})$

Étape 4.5

Développez $(a - b) (a - b)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$(a^{2} + 2 a b + b^{2} + a (a - b) - b (a - b)) ({(a + b)}^{2} - {(a - b)}^{2})$

Étape 4.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$(a^{2} + 2 a b + b^{2} + a \cdot a + a (- b) - b (a - b)) ({(a + b)}^{2} - {(a - b)}^{2})$

Étape 4.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$(a^{2} + 2 a b + b^{2} + a \cdot a + a (- b) - b a - b (- b)) ({(a + b)}^{2} - {(a - b)}^{2})$

Étape 4.6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.6.1.1

Multipliez $a$ par $a$ .

$(a^{2} + 2 a b + b^{2} + a^{2} + a (- b) - b a - b (- b)) ({(a + b)}^{2} - {(a - b)}^{2})$

Étape 4.6.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$(a^{2} + 2 a b + b^{2} + a^{2} - a b - b a - b (- b)) ({(a + b)}^{2} - {(a - b)}^{2})$

Étape 4.6.1.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$(a^{2} + 2 a b + b^{2} + a^{2} - a b - b a - 1 \cdot - 1 b \cdot b) ({(a + b)}^{2} - {(a - b)}^{2})$

Étape 4.6.1.4

Multipliez $b$ par $b$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.6.1.4.1

Déplacez $b$ .

$(a^{2} + 2 a b + b^{2} + a^{2} - a b - b a - 1 \cdot - 1 (b \cdot b)) ({(a + b)}^{2} - {(a - b)}^{2})$

Étape 4.6.1.4.2

Multipliez $b$ par $b$ .

$(a^{2} + 2 a b + b^{2} + a^{2} - a b - b a - 1 \cdot - 1 b^{2}) ({(a + b)}^{2} - {(a - b)}^{2})$

Étape 4.6.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$(a^{2} + 2 a b + b^{2} + a^{2} - a b - b a + 1 b^{2}) ({(a + b)}^{2} - {(a - b)}^{2})$

Étape 4.6.1.6

Multipliez $b^{2}$ par $1$ .

$(a^{2} + 2 a b + b^{2} + a^{2} - a b - b a + b^{2}) ({(a + b)}^{2} - {(a - b)}^{2})$

Étape 4.6.2

Soustrayez $b a$ de $- a b$ .

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Étape 4.6.2.1

Déplacez $b$ .

$(a^{2} + 2 a b + b^{2} + a^{2} - a b - 1 a b + b^{2}) ({(a + b)}^{2} - {(a - b)}^{2})$

Étape 4.6.2.2

Soustrayez $a b$ de $- a b$ .

$(a^{2} + 2 a b + b^{2} + a^{2} - 2 a b + b^{2}) ({(a + b)}^{2} - {(a - b)}^{2})$

Étape 4.7

Additionnez $a^{2}$ et $a^{2}$ .

$(2 a^{2} + 2 a b + b^{2} - 2 a b + b^{2}) ({(a + b)}^{2} - {(a - b)}^{2})$

Étape 4.8

Soustrayez $2 a b$ de $2 a b$ .

$(2 a^{2} + b^{2} + 0 + b^{2}) ({(a + b)}^{2} - {(a - b)}^{2})$

Étape 4.9

Additionnez $2 a^{2}$ et $0$ .

$(2 a^{2} + b^{2} + b^{2}) ({(a + b)}^{2} - {(a - b)}^{2})$

Étape 4.10

Additionnez $b^{2}$ et $b^{2}$ .

$(2 a^{2} + 2 b^{2}) ({(a + b)}^{2} - {(a - b)}^{2})$

Étape 4.11

Factorisez $2$ à partir de $2 a^{2} + 2 b^{2}$ .

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Étape 4.11.1

Factorisez $2$ à partir de $2 a^{2}$ .

$(2 (a^{2}) + 2 b^{2}) ({(a + b)}^{2} - {(a - b)}^{2})$

Étape 4.11.2

Factorisez $2$ à partir de $2 b^{2}$ .

$(2 (a^{2}) + 2 (b^{2})) ({(a + b)}^{2} - {(a - b)}^{2})$

Étape 4.11.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (a^{2}) + 2 (b^{2})$ .

$2 (a^{2} + b^{2}) ({(a + b)}^{2} - {(a - b)}^{2})$

Étape 4.12

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = a + b$ et $b = a - b$ .

$2 (a^{2} + b^{2}) ((a + b + a - b) (a + b - (a - b)))$

Étape 4.13

Factorisez.

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Étape 4.13.1

Simplifiez

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Étape 4.13.1.1

Supprimez les parenthèses inutiles.

$2 (a^{2} + b^{2}) ((a + b + a - b) (a + b - (a - b)))$

Étape 4.13.1.2

Additionnez $a$ et $a$ .

$2 (a^{2} + b^{2}) ((2 a + b - b) (a + b - (a - b)))$

Étape 4.13.1.3

Soustrayez $b$ de $b$ .

$2 (a^{2} + b^{2}) ((2 a + 0) (a + b - (a - b)))$

Étape 4.13.1.4

Additionnez $2 a$ et $0$ .

$2 (a^{2} + b^{2}) (2 a (a + b - (a - b)))$

Étape 4.13.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$2 (a^{2} + b^{2}) (2 a (a + b - a - - b))$

Étape 4.13.1.6

Multipliez $- - b$ .

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Étape 4.13.1.6.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$2 (a^{2} + b^{2}) (2 a (a + b - a + 1 b))$

Étape 4.13.1.6.2

Multipliez $b$ par $1$ .

$2 (a^{2} + b^{2}) (2 a (a + b - a + b))$

Étape 4.13.1.7

Soustrayez $a$ de $a$ .

$2 (a^{2} + b^{2}) (2 a (b + 0 + b))$

Étape 4.13.1.8

Additionnez $b$ et $0$ .

$2 (a^{2} + b^{2}) (2 a (b + b))$

Étape 4.13.1.9

Factorisez.

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Étape 4.13.1.9.1

Additionnez $b$ et $b$ .

$2 (a^{2} + b^{2}) (2 a (2 b))$

Étape 4.13.1.9.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$2 (a^{2} + b^{2}) (2 a \cdot 2 b)$

Étape 4.13.1.10

Multipliez $2$ par $2$ .

$2 (a^{2} + b^{2}) (4 a b)$

Étape 4.13.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$2 (a^{2} + b^{2}) \cdot 4 a b$

Étape 4.14

Multipliez $4$ par $2$ .

$8 (a^{2} + b^{2}) a b$