Algèbre Exemples

$- x^{5} + 52 x^{3} + 2 x^{2} - 147 x - 98$

Étape 1

Regroupez les termes.

$2 x^{2} - 98 - x^{5} + 52 x^{3} - 147 x$

Étape 2

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2} - 98$ .

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Étape 2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2}$ .

$2 (x^{2}) - 98 - x^{5} + 52 x^{3} - 147 x$

Étape 2.2

Factorisez $2$ à partir de $- 98$ .

$2 x^{2} + 2 \cdot - 49 - x^{5} + 52 x^{3} - 147 x$

Étape 2.3

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2} + 2 \cdot - 49$ .

$2 (x^{2} - 49) - x^{5} + 52 x^{3} - 147 x$

Étape 3

Réécrivez $49$ comme $7^{2}$ .

$2 (x^{2} - 7^{2}) - x^{5} + 52 x^{3} - 147 x$

Étape 4

Factorisez.

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Étape 4.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 7$ .

$2 ((x + 7) (x - 7)) - x^{5} + 52 x^{3} - 147 x$

Étape 4.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$2 (x + 7) (x - 7) - x^{5} + 52 x^{3} - 147 x$

Étape 5

Factorisez $x$ à partir de $- x^{5} + 52 x^{3} - 147 x$ .

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Étape 5.1

Factorisez $x$ à partir de $- x^{5}$ .

$2 (x + 7) (x - 7) + x (- x^{4}) + 52 x^{3} - 147 x$

Étape 5.2

Factorisez $x$ à partir de $52 x^{3}$ .

$2 (x + 7) (x - 7) + x (- x^{4}) + x (52 x^{2}) - 147 x$

Étape 5.3

Factorisez $x$ à partir de $- 147 x$ .

$2 (x + 7) (x - 7) + x (- x^{4}) + x (52 x^{2}) + x \cdot - 147$

Étape 5.4

Factorisez $x$ à partir de $x (- x^{4}) + x (52 x^{2})$ .

$2 (x + 7) (x - 7) + x (- x^{4} + 52 x^{2}) + x \cdot - 147$

Étape 5.5

Factorisez $x$ à partir de $x (- x^{4} + 52 x^{2}) + x \cdot - 147$ .

$2 (x + 7) (x - 7) + x (- x^{4} + 52 x^{2} - 147)$

Étape 6

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$2 (x + 7) (x - 7) + x (- {(x^{2})}^{2} + 52 x^{2} - 147)$

Étape 7

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$2 (x + 7) (x - 7) + x (- u^{2} + 52 u - 147)$

Étape 8

Factorisez par regroupement.

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Étape 8.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 1 \cdot - 147 = 147$ et dont la somme est $b = 52$ .

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Étape 8.1.1

Factorisez $52$ à partir de $52 u$ .

$2 (x + 7) (x - 7) + x (- u^{2} + 52 (u) - 147)$

Étape 8.1.2

Réécrivez $52$ comme $3$ plus $49$

$2 (x + 7) (x - 7) + x (- u^{2} + (3 + 49) u - 147)$

Étape 8.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 (x + 7) (x - 7) + x (- u^{2} + 3 u + 49 u - 147)$

Étape 8.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 8.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$2 (x + 7) (x - 7) + x ((- u^{2} + 3 u) + 49 u - 147)$

Étape 8.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$2 (x + 7) (x - 7) + x (u (- u + 3) - 49 (- u + 3))$

Étape 8.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- u + 3$ .

$2 (x + 7) (x - 7) + x ((- u + 3) (u - 49))$

Étape 9

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$2 (x + 7) (x - 7) + x ((- x^{2} + 3) (x^{2} - 49))$

Étape 10

Réécrivez $49$ comme $7^{2}$ .

$2 (x + 7) (x - 7) + x ((- x^{2} + 3) (x^{2} - 7^{2}))$

Étape 11

Factorisez.

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Étape 11.1

Factorisez.

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Étape 11.1.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 7$ .

$2 (x + 7) (x - 7) + x ((- x^{2} + 3) ((x + 7) (x - 7)))$

Étape 11.1.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$2 (x + 7) (x - 7) + x ((- x^{2} + 3) (x + 7) (x - 7))$

Étape 11.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$2 (x + 7) (x - 7) + x (- x^{2} + 3) (x + 7) (x - 7)$

Étape 12

Factorisez $(x + 7) (x - 7)$ à partir de $2 (x + 7) (x - 7) + x (- x^{2} + 3) (x + 7) (x - 7)$ .

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Étape 12.1

Factorisez $(x + 7) (x - 7)$ à partir de $2 (x + 7) (x - 7)$ .

$(x + 7) (x - 7) (2) + x (- x^{2} + 3) (x + 7) (x - 7)$

Étape 12.2

Factorisez $(x + 7) (x - 7)$ à partir de $x (- x^{2} + 3) (x + 7) (x - 7)$ .

$(x + 7) (x - 7) (2) + (x + 7) (x - 7) (x (- x^{2} + 3))$

Étape 12.3

Factorisez $(x + 7) (x - 7)$ à partir de $(x + 7) (x - 7) (2) + (x + 7) (x - 7) (x (- x^{2} + 3))$ .

$(x + 7) (x - 7) (2 + x (- x^{2} + 3))$

Étape 13

Appliquez la propriété distributive.

$(x + 7) (x - 7) (2 + x (- x^{2}) + x \cdot 3)$

Étape 14

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$(x + 7) (x - 7) (2 - x \cdot x^{2} + x \cdot 3)$

Étape 15

Déplacez $3$ à gauche de $x$ .

$(x + 7) (x - 7) (2 - x \cdot x^{2} + 3 \cdot x)$

Étape 16

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 16.1

Déplacez $x^{2}$ .

$(x + 7) (x - 7) (2 - (x^{2} x) + 3 \cdot x)$

Étape 16.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 16.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$(x + 7) (x - 7) (2 - (x^{2} x^{1}) + 3 \cdot x)$

Étape 16.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(x + 7) (x - 7) (2 - x^{2 + 1} + 3 \cdot x)$

Étape 16.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$(x + 7) (x - 7) (2 - x^{3} + 3 \cdot x)$

$(x + 7) (x - 7) (2 - x^{3} + 3 x)$

Étape 17

Remettez les termes dans l’ordre.

$(x + 7) (x - 7) (- x^{3} + 3 x + 2)$

Étape 18

Factorisez.

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Étape 18.1

Réécrivez $- x^{3} + 3 x + 2$ en forme factorisée.

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Étape 18.1.1

Factorisez $- x^{3} + 3 x + 2$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 18.1.1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1$

Étape 18.1.1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 2$

Étape 18.1.1.3

Remplacez $- 1$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $- 1$ est une racine du polynôme.

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Étape 18.1.1.3.1

Remplacez $- 1$ dans le polynôme.

$- {(- 1)}^{3} + 3 \cdot - 1 + 2$

Étape 18.1.1.3.2

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$- - 1 + 3 \cdot - 1 + 2$

Étape 18.1.1.3.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 + 3 \cdot - 1 + 2$

Étape 18.1.1.3.4

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$1 - 3 + 2$

Étape 18.1.1.3.5

Soustrayez $3$ de $1$ .

$- 2 + 2$

Étape 18.1.1.3.6

Additionnez $- 2$ et $2$ .

$0$

Étape 18.1.1.4

Comme $- 1$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x + 1$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{- x^{3} + 3 x + 2}{x + 1}$

Étape 18.1.1.5

Divisez $- x^{3} + 3 x + 2$ par $x + 1$ .

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Étape 18.1.1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$2$

Étape 18.1.1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				-	$x^{2}$
	$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	+	$2$

Étape 18.1.1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

			-	$x^{2}$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Étape 18.1.1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- x^{3} - x^{2}$

			-	$x^{2}$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Étape 18.1.1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

			-	$x^{2}$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$

Étape 18.1.1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

			-	$x^{2}$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$

Étape 18.1.1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

			-	$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$

Étape 18.1.1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

			-	$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$

Étape 18.1.1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{2} + x$

			-	$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$

Étape 18.1.1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

			-	$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							+	$2 x$

Étape 18.1.1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

			-	$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							+	$2 x$	+	$2$

Étape 18.1.1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $2 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

			-	$x^{2}$	+	$x$	+	$2$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							+	$2 x$	+	$2$

Étape 18.1.1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

			-	$x^{2}$	+	$x$	+	$2$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							+	$2 x$	+	$2$
							+	$2 x$	+	$2$

Étape 18.1.1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $2 x + 2$

			-	$x^{2}$	+	$x$	+	$2$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							+	$2 x$	+	$2$
							-	$2 x$	-	$2$

Étape 18.1.1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

			-	$x^{2}$	+	$x$	+	$2$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							+	$2 x$	+	$2$
							-	$2 x$	-	$2$
										$0$

Étape 18.1.1.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$- x^{2} + x + 2$

Étape 18.1.1.6

Écrivez $- x^{3} + 3 x + 2$ comme un ensemble de facteurs.

$(x + 7) (x - 7) ((x + 1) (- x^{2} + x + 2))$

Étape 18.1.2

Factorisez par regroupement.

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Étape 18.1.2.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 18.1.2.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 1 \cdot 2 = - 2$ et dont la somme est $b = 1$ .

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Étape 18.1.2.1.1.1

Multipliez par $1$ .

$(x + 7) (x - 7) ((x + 1) (- x^{2} + 1 x + 2))$

Étape 18.1.2.1.1.2

Réécrivez $1$ comme $- 1$ plus $2$

$(x + 7) (x - 7) ((x + 1) (- x^{2} + (- 1 + 2) x + 2))$

Étape 18.1.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$(x + 7) (x - 7) ((x + 1) (- x^{2} - 1 x + 2 x + 2))$

Étape 18.1.2.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 18.1.2.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(x + 7) (x - 7) ((x + 1) ((- x^{2} - 1 x) + 2 x + 2))$

Étape 18.1.2.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$(x + 7) (x - 7) ((x + 1) (x (- x - 1) - 2 (- x - 1)))$

Étape 18.1.2.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- x - 1$ .

$(x + 7) (x - 7) ((x + 1) ((- x - 1) (x - 2)))$

Étape 18.1.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x + 7) (x - 7) ((x + 1) (- x - 1) (x - 2))$

Étape 18.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x + 7) (x - 7) (x + 1) (- x - 1) (x - 2)$

Étape 19

Associez les exposants.

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Étape 19.1

Factorisez $- 1$ à partir de $x$ .

$(x + 7) (x - 7) (- 1 (- x) + 1) (- x - 1) (x - 2)$

Étape 19.2

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$(x + 7) (x - 7) (- 1 (- x) - 1 (- 1)) (- x - 1) (x - 2)$

Étape 19.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (- x) - 1 (- 1)$ .

$(x + 7) (x - 7) (- 1 (- x - 1)) (- x - 1) (x - 2)$

Étape 19.4

Supprimez les parenthèses.

$(x + 7) (x - 7) \cdot - 1 (- x - 1) (- x - 1) (x - 2)$

Étape 19.5

Élevez $- x - 1$ à la puissance $1$ .

$(x + 7) (x - 7) \cdot - 1 ({(- x - 1)}^{1} (- x - 1)) (x - 2)$

Étape 19.6

Élevez $- x - 1$ à la puissance $1$ .

$(x + 7) (x - 7) \cdot - 1 ({(- x - 1)}^{1} {(- x - 1)}^{1}) (x - 2)$

Étape 19.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(x + 7) (x - 7) \cdot - 1 {(- x - 1)}^{1 + 1} (x - 2)$

Étape 19.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$(x + 7) (x - 7) \cdot - 1 {(- x - 1)}^{2} (x - 2)$

Étape 20

Factorisez.

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Étape 20.1

Factorisez le signe négatif.

$- ((x + 7) (x - 7) {(- x - 1)}^{2} (x - 2))$

Étape 20.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- (x + 7) (x - 7) {(- x - 1)}^{2} (x - 2)$

Étape 21

Factorisez $- 1$ à partir de $- x - 1$ .

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Étape 21.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$- (x + 7) (x - 7) {(- (x) - 1)}^{2} (x - 2)$

Étape 21.2

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$- (x + 7) (x - 7) {(- (x) - 1 (1))}^{2} (x - 2)$

Étape 21.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (1)$ .

$- (x + 7) (x - 7) {(- (x + 1))}^{2} (x - 2)$

Étape 22

Factorisez.

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Étape 22.1

Appliquez la règle de produit à $- (x + 1)$ .

$- (x + 7) (x - 7) ({(- 1)}^{2} {(x + 1)}^{2}) (x - 2)$

Étape 22.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- (x + 7) (x - 7) {(- 1)}^{2} {(x + 1)}^{2} (x - 2)$

Étape 23

Multipliez $- 1$ par ${(- 1)}^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 23.1

Déplacez ${(- 1)}^{2}$ .

${(- 1)}^{2} \cdot - 1 (x + 7) (x - 7) {(x + 1)}^{2} (x - 2)$

Étape 23.2

Multipliez ${(- 1)}^{2}$ par $- 1$ .

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Étape 23.2.1

Élevez $- 1$ à la puissance $1$ .

${(- 1)}^{2} \cdot {(- 1)}^{1} (x + 7) (x - 7) {(x + 1)}^{2} (x - 2)$

Étape 23.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${(- 1)}^{2 + 1} (x + 7) (x - 7) {(x + 1)}^{2} (x - 2)$

Étape 23.3

Additionnez $2$ et $1$ .

${(- 1)}^{3} (x + 7) (x - 7) {(x + 1)}^{2} (x - 2)$