Algèbre Exemples

$\sqrt{2 y^{2} - 5 y} - \sqrt{21 - 6 y} = 0$

Étape 1

Résolvez $\sqrt{2 y^{2} - 5 y}$ .

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Étape 1.1

Factorisez $3$ à partir de $21 - 6 y$ .

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Étape 1.1.1

Factorisez $3$ à partir de $21$ .

$\sqrt{2 y^{2} - 5 y} - \sqrt{3 (7) - 6 y} = 0$

Étape 1.1.2

Factorisez $3$ à partir de $- 6 y$ .

$\sqrt{2 y^{2} - 5 y} - \sqrt{3 (7) + 3 (- 2 y)} = 0$

Étape 1.1.3

Factorisez $3$ à partir de $3 (7) + 3 (- 2 y)$ .

$\sqrt{2 y^{2} - 5 y} - \sqrt{3 (7 - 2 y)} = 0$

Étape 1.2

Ajoutez $\sqrt{3 (7 - 2 y)}$ aux deux côtés de l’équation.

$\sqrt{2 y^{2} - 5 y} = \sqrt{3 (7 - 2 y)}$

Étape 2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{2 y^{2} - 5 y}}^{2} = {\sqrt{3 (7 - 2 y)}}^{2}$

Étape 3

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2 y^{2} - 5 y}$ comme ${(2 y^{2} - 5 y)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(2 y^{2} - 5 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {\sqrt{3 (7 - 2 y)}}^{2}$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Simplifiez ${({(2 y^{2} - 5 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(2 y^{2} - 5 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 y^{2} - 5 y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\sqrt{3 (7 - 2 y)}}^{2}$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(2 y^{2} - 5 y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\sqrt{3 (7 - 2 y)}}^{2}$

Étape 3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(2 y^{2} - 5 y)}^{1} = {\sqrt{3 (7 - 2 y)}}^{2}$

Étape 3.2.1.2

Simplifiez

$2 y^{2} - 5 y = {\sqrt{3 (7 - 2 y)}}^{2}$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Simplifiez ${\sqrt{3 (7 - 2 y)}}^{2}$ .

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Étape 3.3.1.1

Réécrivez ${\sqrt{3 (7 - 2 y)}}^{2}$ comme $3 (7 - 2 y)$ .

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Étape 3.3.1.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3 (7 - 2 y)}$ comme ${(3 (7 - 2 y))}^{\frac{1}{2}}$ .

$2 y^{2} - 5 y = {({(3 (7 - 2 y))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Étape 3.3.1.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 y^{2} - 5 y = {(3 (7 - 2 y))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Étape 3.3.1.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$2 y^{2} - 5 y = {(3 (7 - 2 y))}^{\frac{2}{2}}$

Étape 3.3.1.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.1.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$2 y^{2} - 5 y = {(3 (7 - 2 y))}^{\frac{2}{2}}$

Étape 3.3.1.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$2 y^{2} - 5 y = {(3 (7 - 2 y))}^{1}$

Étape 3.3.1.1.5

Simplifiez

$2 y^{2} - 5 y = 3 (7 - 2 y)$

Étape 3.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 y^{2} - 5 y = 3 \cdot 7 + 3 (- 2 y)$

Étape 3.3.1.3

Multipliez.

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Étape 3.3.1.3.1

Multipliez $3$ par $7$ .

$2 y^{2} - 5 y = 21 + 3 (- 2 y)$

Étape 3.3.1.3.2

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$2 y^{2} - 5 y = 21 - 6 y$

Étape 4

Résolvez $y$ .

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Étape 4.1

Déplacez tous les termes contenant $y$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 4.1.1

Ajoutez $6 y$ aux deux côtés de l’équation.

$2 y^{2} - 5 y + 6 y = 21$

Étape 4.1.2

Additionnez $- 5 y$ et $6 y$ .

$2 y^{2} + y = 21$

Étape 4.2

Soustrayez $21$ des deux côtés de l’équation.

$2 y^{2} + y - 21 = 0$

Étape 4.3

Factorisez par regroupement.

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Étape 4.3.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot - 21 = - 42$ et dont la somme est $b = 1$ .

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Étape 4.3.1.1

Multipliez par $1$ .

$2 y^{2} + 1 y - 21 = 0$

Étape 4.3.1.2

Réécrivez $1$ comme $- 6$ plus $7$

$2 y^{2} + (- 6 + 7) y - 21 = 0$

Étape 4.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 y^{2} - 6 y + 7 y - 21 = 0$

Étape 4.3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 4.3.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(2 y^{2} - 6 y) + 7 y - 21 = 0$

Étape 4.3.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$2 y (y - 3) + 7 (y - 3) = 0$

Étape 4.3.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $y - 3$ .

$(y - 3) (2 y + 7) = 0$

Étape 4.4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$y - 3 = 0$

$2 y + 7 = 0$

Étape 4.5

Définissez $y - 3$ égal à $0$ et résolvez $y$ .

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Étape 4.5.1

Définissez $y - 3$ égal à $0$ .

$y - 3 = 0$

Étape 4.5.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$y = 3$

Étape 4.6

Définissez $2 y + 7$ égal à $0$ et résolvez $y$ .

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Étape 4.6.1

Définissez $2 y + 7$ égal à $0$ .

$2 y + 7 = 0$

Étape 4.6.2

Résolvez $2 y + 7 = 0$ pour $y$ .

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Étape 4.6.2.1

Soustrayez $7$ des deux côtés de l’équation.

$2 y = - 7$

Étape 4.6.2.2

Divisez chaque terme dans $2 y = - 7$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 4.6.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 y = - 7$ par $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{- 7}{2}$

Étape 4.6.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.6.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.6.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y}{2} = \frac{- 7}{2}$

Étape 4.6.2.2.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{- 7}{2}$

Étape 4.6.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.6.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{7}{2}$

Étape 4.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(y - 3) (2 y + 7) = 0$ vraie.

$y = 3, - \frac{7}{2}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$y = 3, - \frac{7}{2}$

Forme décimale :

$y = 3, - 3.5$

Forme de nombre mixte :

$y = 3, - 3 \frac{1}{2}$