Algèbre Exemples

$\frac{1}{x} + \frac{1}{x - 10} \geq \frac{2}{24}$

Étape 1

Soustrayez $\frac{2}{24}$ des deux côtés de l’inégalité.

$\frac{1}{x} + \frac{1}{x - 10} - \frac{2}{24} \geq 0$

Étape 2

Simplifiez $\frac{1}{x} + \frac{1}{x - 10} - \frac{2}{24}$ .

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Étape 2.1

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 2.1.1

Multipliez $\frac{1}{x}$ par $\frac{(x - 10) \cdot 24}{(x - 10) \cdot 24}$ .

$\frac{1}{x} \cdot \frac{(x - 10) \cdot 24}{(x - 10) \cdot 24} + \frac{1}{x - 10} - \frac{2}{24} \geq 0$

Étape 2.1.2

Multipliez $\frac{1}{x}$ par $\frac{(x - 10) \cdot 24}{(x - 10) \cdot 24}$ .

$\frac{(x - 10) \cdot 24}{x ((x - 10) \cdot 24)} + \frac{1}{x - 10} - \frac{2}{24} \geq 0$

Étape 2.1.3

Multipliez $\frac{1}{x - 10}$ par $\frac{x \cdot 24}{x \cdot 24}$ .

$\frac{(x - 10) \cdot 24}{x ((x - 10) \cdot 24)} + \frac{1}{x - 10} \cdot \frac{x \cdot 24}{x \cdot 24} - \frac{2}{24} \geq 0$

Étape 2.1.4

Multipliez $\frac{1}{x - 10}$ par $\frac{x \cdot 24}{x \cdot 24}$ .

$\frac{(x - 10) \cdot 24}{x ((x - 10) \cdot 24)} + \frac{x \cdot 24}{(x - 10) (x \cdot 24)} - \frac{2}{24} \geq 0$

Étape 2.1.5

Multipliez $\frac{2}{24}$ par $\frac{x (x - 10)}{x (x - 10)}$ .

$\frac{(x - 10) \cdot 24}{x ((x - 10) \cdot 24)} + \frac{x \cdot 24}{(x - 10) (x \cdot 24)} - (\frac{2}{24} \cdot \frac{x (x - 10)}{x (x - 10)}) \geq 0$

Étape 2.1.6

Multipliez $\frac{2}{24}$ par $\frac{x (x - 10)}{x (x - 10)}$ .

$\frac{(x - 10) \cdot 24}{x ((x - 10) \cdot 24)} + \frac{x \cdot 24}{(x - 10) (x \cdot 24)} - \frac{2 (x (x - 10))}{24 (x (x - 10))} \geq 0$

Étape 2.1.7

Réorganisez les facteurs de $x ((x - 10) \cdot 24)$ .

$\frac{(x - 10) \cdot 24}{24 x (x - 10)} + \frac{x \cdot 24}{(x - 10) (x \cdot 24)} - \frac{2 (x (x - 10))}{24 (x (x - 10))} \geq 0$

Étape 2.1.8

Réorganisez les facteurs de $(x - 10) (x \cdot 24)$ .

$\frac{(x - 10) \cdot 24}{24 x (x - 10)} + \frac{x \cdot 24}{24 x (x - 10)} - \frac{2 (x (x - 10))}{24 (x (x - 10))} \geq 0$

Étape 2.1.9

Réorganisez les facteurs de $24 (x (x - 10))$ .

$\frac{(x - 10) \cdot 24}{24 x (x - 10)} + \frac{x \cdot 24}{24 x (x - 10)} - \frac{2 (x (x - 10))}{24 x (x - 10)} \geq 0$

Étape 2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(x - 10) \cdot 24 + x \cdot 24 - 2 (x (x - 10))}{24 x (x - 10)} \geq 0$

Étape 2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot 24 - 10 \cdot 24 + x \cdot 24 - 2 (x (x - 10))}{24 x (x - 10)} \geq 0$

Étape 2.3.2

Déplacez $24$ à gauche de $x$ .

$\frac{24 \cdot x - 10 \cdot 24 + x \cdot 24 - 2 (x (x - 10))}{24 x (x - 10)} \geq 0$

Étape 2.3.3

Multipliez $- 10$ par $24$ .

$\frac{24 \cdot x - 240 + x \cdot 24 - 2 (x (x - 10))}{24 x (x - 10)} \geq 0$

Étape 2.3.4

Déplacez $24$ à gauche de $x$ .

$\frac{24 x - 240 + 24 \cdot x - 2 (x (x - 10))}{24 x (x - 10)} \geq 0$

Étape 2.3.5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{24 x - 240 + 24 x - 2 (x \cdot x + x \cdot - 10)}{24 x (x - 10)} \geq 0$

Étape 2.3.6

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{24 x - 240 + 24 x - 2 (x^{2} + x \cdot - 10)}{24 x (x - 10)} \geq 0$

Étape 2.3.7

Déplacez $- 10$ à gauche de $x$ .

$\frac{24 x - 240 + 24 x - 2 (x^{2} - 10 \cdot x)}{24 x (x - 10)} \geq 0$

Étape 2.3.8

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{24 x - 240 + 24 x - 2 x^{2} - 2 (- 10 x)}{24 x (x - 10)} \geq 0$

Étape 2.3.9

Multipliez $- 10$ par $- 2$ .

$\frac{24 x - 240 + 24 x - 2 x^{2} + 20 x}{24 x (x - 10)} \geq 0$

Étape 2.4

Additionnez $24 x$ et $24 x$ .

$\frac{48 x - 240 - 2 x^{2} + 20 x}{24 x (x - 10)} \geq 0$

Étape 2.5

Additionnez $48 x$ et $20 x$ .

$\frac{68 x - 240 - 2 x^{2}}{24 x (x - 10)} \geq 0$

Étape 2.6

Annulez le facteur commun à $68 x - 240 - 2 x^{2}$ et $24$ .

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Étape 2.6.1

Factorisez $2$ à partir de $68 x$ .

$\frac{2 (34 x) - 240 - 2 x^{2}}{24 x (x - 10)} \geq 0$

Étape 2.6.2

Factorisez $2$ à partir de $- 240$ .

$\frac{2 (34 x) + 2 (- 120) - 2 x^{2}}{24 x (x - 10)} \geq 0$

Étape 2.6.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (34 x) + 2 (- 120)$ .

$\frac{2 (34 x - 120) - 2 x^{2}}{24 x (x - 10)} \geq 0$

Étape 2.6.4

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x^{2}$ .

$\frac{2 (34 x - 120) + 2 (- x^{2})}{24 x (x - 10)} \geq 0$

Étape 2.6.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (34 x - 120) + 2 (- x^{2})$ .

$\frac{2 (34 x - 120 - x^{2})}{24 x (x - 10)} \geq 0$

Étape 2.6.6

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.6.6.1

Factorisez $2$ à partir de $24 x (x - 10)$ .

$\frac{2 (34 x - 120 - x^{2})}{2 (12 x (x - 10))} \geq 0$

Étape 2.6.6.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (34 x - 120 - x^{2})}{2 (12 x (x - 10))} \geq 0$

Étape 2.6.6.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{34 x - 120 - x^{2}}{12 x (x - 10)} \geq 0$

Étape 2.7

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.7.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- x^{2} + 34 x - 120}{12 x (x - 10)} \geq 0$

Étape 2.7.2

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 1 \cdot - 120 = 120$ et dont la somme est $b = 34$ .

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Étape 2.7.2.1

Factorisez $34$ à partir de $34 x$ .

$\frac{- x^{2} + 34 (x) - 120}{12 x (x - 10)} \geq 0$

Étape 2.7.2.2

Réécrivez $34$ comme $4$ plus $30$

$\frac{- x^{2} + (4 + 30) x - 120}{12 x (x - 10)} \geq 0$

Étape 2.7.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- x^{2} + 4 x + 30 x - 120}{12 x (x - 10)} \geq 0$

Étape 2.7.3

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.7.3.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{(- x^{2} + 4 x) + 30 x - 120}{12 x (x - 10)} \geq 0$

Étape 2.7.3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{x (- x + 4) - 30 (- x + 4)}{12 x (x - 10)} \geq 0$

Étape 2.7.4

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- x + 4$ .

$\frac{(- x + 4) (x - 30)}{12 x (x - 10)} \geq 0$

Étape 2.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{(- (x) + 4) (x - 30)}{12 x (x - 10)} \geq 0$

Étape 2.9

Réécrivez $4$ comme $- 1 (- 4)$ .

$\frac{(- (x) - 1 (- 4)) (x - 30)}{12 x (x - 10)} \geq 0$

Étape 2.10

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (- 4)$ .

$\frac{- (x - 4) (x - 30)}{12 x (x - 10)} \geq 0$

Étape 2.11

Réécrivez $- (x - 4)$ comme $- 1 (x - 4)$ .

$\frac{- 1 (x - 4) (x - 30)}{12 x (x - 10)} \geq 0$

Étape 2.12

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{(x - 4) (x - 30)}{12 x (x - 10)} \geq 0$

Étape 3

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$12 x = 0$

$x - 4 = 0$

$x - 30 = 0$

$x - 10 = 0$

Étape 4

Divisez chaque terme dans $12 x = 0$ par $12$ et simplifiez.

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Étape 4.1

Divisez chaque terme dans $12 x = 0$ par $12$ .

$\frac{12 x}{12} = \frac{0}{12}$

Étape 4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Annulez le facteur commun de $12$ .

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Étape 4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{12 x}{12} = \frac{0}{12}$

Étape 4.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{0}{12}$

Étape 4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Divisez $0$ par $12$ .

$x = 0$

Étape 5

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 4$

Étape 6

Ajoutez $30$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 30$

Étape 7

Ajoutez $10$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 10$

Étape 8

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$x = 0$

$x = 4$

$x = 30$

$x = 10$

Étape 9

Consolidez les solutions.

$x = 0, 4, 30, 10$

Étape 10

Déterminez le domaine de $- \frac{(x - 4) (x - 30)}{12 x (x - 10)}$ .

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Étape 10.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{(x - 4) (x - 30)}{12 x (x - 10)}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$12 x (x - 10) = 0$

Étape 10.2

Résolvez $x$ .

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Étape 10.2.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x - 10 = 0$

Étape 10.2.2

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 10.2.3

Définissez $x - 10$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 10.2.3.1

Définissez $x - 10$ égal à $0$ .

$x - 10 = 0$

Étape 10.2.3.2

Ajoutez $10$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 10$

Étape 10.2.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $12 x (x - 10) = 0$ vraie.

$x = 0, 10$

Étape 10.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, 0) \cup (0, 10) \cup (10, \infty)$

Étape 11

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < 0$

$0 < x < 4$

$4 < x < 10$

$10 < x < 30$

$x > 30$

Étape 12

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 12.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 12.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 2$

Étape 12.1.2

Remplacez $x$ par $- 2$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{1}{- 2} + \frac{1}{(- 2) - 10} \geq \frac{2}{24}$

Étape 12.1.3

Le côté gauche $- 0.58\overline{3}$ est inférieur au côté droit $0.08\overline{3}$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 12.2

Testez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 4$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 12.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 4$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 2$

Étape 12.2.2

Remplacez $x$ par $2$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{1}{2} + \frac{1}{(2) - 10} \geq \frac{2}{24}$

Étape 12.2.3

Le côté gauche $0.375$ est supérieur au côté droit $0.08\overline{3}$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 12.3

Testez une valeur sur l’intervalle $4 < x < 10$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 12.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $4 < x < 10$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 7$

Étape 12.3.2

Remplacez $x$ par $7$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{1}{7} + \frac{1}{(7) - 10} \geq \frac{2}{24}$

Étape 12.3.3

Le côté gauche $- 0.\overline{190476}$ est inférieur au côté droit $0.08\overline{3}$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 12.4

Testez une valeur sur l’intervalle $10 < x < 30$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 12.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $10 < x < 30$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 12$

Étape 12.4.2

Remplacez $x$ par $12$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{1}{12} + \frac{1}{(12) - 10} \geq \frac{2}{24}$

Étape 12.4.3

Le côté gauche $0.58\overline{3}$ est supérieur au côté droit $0.08\overline{3}$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 12.5

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 30$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 12.5.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 30$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 32$

Étape 12.5.2

Remplacez $x$ par $32$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{1}{32} + \frac{1}{(32) - 10} \geq \frac{2}{24}$

Étape 12.5.3

Le côté gauche $0.07670\overline{45}$ est inférieur au côté droit $0.08\overline{3}$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 12.6

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < 0$ Faux

$0 < x < 4$ Vrai

$4 < x < 10$ Faux

$10 < x < 30$ Vrai

$x > 30$ Faux

$x < 0$ Faux

$0 < x < 4$ Vrai

$4 < x < 10$ Faux

$10 < x < 30$ Vrai

$x > 30$ Faux

Étape 13

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$0 < x \leq 4$ ou $10 < x \leq 30$

Étape 14

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$0 < x \leq 4 or 10 < x \leq 30$

Notation d’intervalle :

$(0, 4] \cup (10, 30]$

Étape 15