Algèbre Exemples

$f (x) = | x + 2 |$

Étape 1

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en évaluant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 2

Définissez l’argument dans la valeur absolue égal à $0$ afin de déterminer les valeurs potentielles sur lesquelles la solution peut être divisée.

$x + 2 = 0$

Étape 3

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Résolvez l’équation pour $x$ .

$x = - 2$

Étape 3.2

Créez des intervalles autour des solutions afin de déterminer où $x + 2$ est positif et négatif.

$(- \infty, - 2), (- 2, \infty)$

Étape 3.3

Remplacez une valeur de chaque intervalle dans $x + 2$ pour déterminer où l’expression est positive ou négative.

$\begin{array}{c} Intervalle & Signe sur intervalle \\ (- \infty, - 2) & - \\ (- 2, \infty) & + \end{array}$

Étape 3.4

Intégrez l’argument de la valeur absolue.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.1

Définissez l’intégrale avec l’argument de la valeur absolue.

$\int x + 2 d x$

Étape 3.4.2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int x d x + \int 2 d x$

Étape 3.4.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int 2 d x$

Étape 3.4.4

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{2} x^{2} + C + 2 x + C$

Étape 3.4.5

Simplifiez

$\frac{1}{2} x^{2} + 2 x + C$

Étape 3.5

Sur les intervalles où l’argument est négatif, multipliez la solution de l’intégrale par $- 1$ .

${\begin{cases} - (\frac{1}{2} x^{2} + 2 x + C) & x \leq - 2 \\ \frac{1}{2} x^{2} + 2 x + C & x > - 2 \end{cases}$

Étape 3.6

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

${\begin{cases} - (\frac{x^{2}}{2} + 2 x + C) & x \leq - 2 \\ \frac{1}{2} x^{2} + 2 x + C & x > - 2 \end{cases}$

Étape 3.7

Simplifiez

${\begin{cases} - \frac{x^{2}}{2} - 2 x & x \leq - 2 \\ \frac{1}{2} x^{2} + 2 x & x > - 2 \end{cases} + C$

Étape 3.8

Simplifiez

${\begin{cases} - \frac{1}{2} x^{2} - 2 x & x \leq - 2 \\ \frac{1}{2} x^{2} + 2 x & x > - 2 \end{cases} + C$

Étape 4

La fonction $F$ si elle est dérivée de l’intégrale de la dérivée de la fonction. Cela est valide selon le théorème fondamental de l’analyse.

$F (x) = {\begin{cases} - \frac{1}{2} x^{2} - 2 x & x \leq - 2 \\ \frac{1}{2} x^{2} + 2 x & x > - 2 \end{cases} + C$