Algèbre Exemples

$\frac{x + 1}{x^{2} - x - 20} - \frac{x + 4}{x^{2} - 4 x - 5} + \frac{x + 5}{x^{2} + 5 x + 4}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Factorisez $x^{2} - x - 20$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 20$ et dont la somme est $- 1$ .

$- 5, 4$

Étape 1.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{x + 1}{(x - 5) (x + 4)} - \frac{x + 4}{x^{2} - 4 x - 5} + \frac{x + 5}{x^{2} + 5 x + 4}$

Étape 1.2

Factorisez $x^{2} - 4 x - 5$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 5$ et dont la somme est $- 4$ .

$- 5, 1$

Étape 1.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{x + 1}{(x - 5) (x + 4)} - \frac{x + 4}{(x - 5) (x + 1)} + \frac{x + 5}{x^{2} + 5 x + 4}$

Étape 1.3

Factorisez $x^{2} + 5 x + 4$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.3.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $4$ et dont la somme est $5$ .

$1, 4$

Étape 1.3.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{x + 1}{(x - 5) (x + 4)} - \frac{x + 4}{(x - 5) (x + 1)} + \frac{x + 5}{(x + 1) (x + 4)}$

Étape 2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 2.1

Multipliez $\frac{x + 1}{(x - 5) (x + 4)}$ par $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{x + 1}{(x - 5) (x + 4)} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} - \frac{x + 4}{(x - 5) (x + 1)} + \frac{x + 5}{(x + 1) (x + 4)}$

Étape 2.2

Multipliez $\frac{x + 1}{(x - 5) (x + 4)}$ par $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{(x + 1) (x + 1)}{(x - 5) (x + 4) (x + 1)} - \frac{x + 4}{(x - 5) (x + 1)} + \frac{x + 5}{(x + 1) (x + 4)}$

Étape 2.3

Multipliez $\frac{x + 4}{(x - 5) (x + 1)}$ par $\frac{x + 4}{x + 4}$ .

$\frac{(x + 1) (x + 1)}{(x - 5) (x + 4) (x + 1)} - (\frac{x + 4}{(x - 5) (x + 1)} \cdot \frac{x + 4}{x + 4}) + \frac{x + 5}{(x + 1) (x + 4)}$

Étape 2.4

Multipliez $\frac{x + 4}{(x - 5) (x + 1)}$ par $\frac{x + 4}{x + 4}$ .

$\frac{(x + 1) (x + 1)}{(x - 5) (x + 4) (x + 1)} - \frac{(x + 4) (x + 4)}{(x - 5) (x + 1) (x + 4)} + \frac{x + 5}{(x + 1) (x + 4)}$

Étape 2.5

Multipliez $\frac{x + 5}{(x + 1) (x + 4)}$ par $\frac{x - 5}{x - 5}$ .

$\frac{(x + 1) (x + 1)}{(x - 5) (x + 4) (x + 1)} - \frac{(x + 4) (x + 4)}{(x - 5) (x + 1) (x + 4)} + \frac{x + 5}{(x + 1) (x + 4)} \cdot \frac{x - 5}{x - 5}$

Étape 2.6

Multipliez $\frac{x + 5}{(x + 1) (x + 4)}$ par $\frac{x - 5}{x - 5}$ .

$\frac{(x + 1) (x + 1)}{(x - 5) (x + 4) (x + 1)} - \frac{(x + 4) (x + 4)}{(x - 5) (x + 1) (x + 4)} + \frac{(x + 5) (x - 5)}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

Étape 2.7

Réorganisez les facteurs de $(x - 5) (x + 1) (x + 4)$ .

$\frac{(x + 1) (x + 1)}{(x - 5) (x + 4) (x + 1)} - \frac{(x + 4) (x + 4)}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)} + \frac{(x + 5) (x - 5)}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

Étape 3

Simplifiez les termes.

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Étape 3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(x + 1) (x + 1) - (x + 4) (x + 4) + (x + 5) (x - 5)}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

Étape 3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1

Développez $(x + 1) (x + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (x + 1) + 1 (x + 1) - (x + 4) (x + 4) + (x + 5) (x - 5)}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

Étape 3.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1) - (x + 4) (x + 4) + (x + 5) (x - 5)}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

Étape 3.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1 - (x + 4) (x + 4) + (x + 5) (x - 5)}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

Étape 3.2.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.2.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1 - (x + 4) (x + 4) + (x + 5) (x - 5)}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

Étape 3.2.2.1.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1 - (x + 4) (x + 4) + (x + 5) (x - 5)}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

Étape 3.2.2.1.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{x^{2} + x + x + 1 \cdot 1 - (x + 4) (x + 4) + (x + 5) (x - 5)}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

Étape 3.2.2.1.4

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{x^{2} + x + x + 1 - (x + 4) (x + 4) + (x + 5) (x - 5)}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

Étape 3.2.2.2

Additionnez $x$ et $x$ .

$\frac{x^{2} + 2 x + 1 - (x + 4) (x + 4) + (x + 5) (x - 5)}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

Étape 3.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} + 2 x + 1 + (- x - 1 \cdot 4) (x + 4) + (x + 5) (x - 5)}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

Étape 3.2.4

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\frac{x^{2} + 2 x + 1 + (- x - 4) (x + 4) + (x + 5) (x - 5)}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

Étape 3.2.5

Développez $(- x - 4) (x + 4)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.2.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} + 2 x + 1 - x (x + 4) - 4 (x + 4) + (x + 5) (x - 5)}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

Étape 3.2.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} + 2 x + 1 - x \cdot x - x \cdot 4 - 4 (x + 4) + (x + 5) (x - 5)}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

Étape 3.2.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} + 2 x + 1 - x \cdot x - x \cdot 4 - 4 x - 4 \cdot 4 + (x + 5) (x - 5)}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

Étape 3.2.6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.2.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.6.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.2.6.1.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{x^{2} + 2 x + 1 - (x \cdot x) - x \cdot 4 - 4 x - 4 \cdot 4 + (x + 5) (x - 5)}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

Étape 3.2.6.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x^{2} + 2 x + 1 - x^{2} - x \cdot 4 - 4 x - 4 \cdot 4 + (x + 5) (x - 5)}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

Étape 3.2.6.1.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\frac{x^{2} + 2 x + 1 - x^{2} - 4 x - 4 x - 4 \cdot 4 + (x + 5) (x - 5)}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

Étape 3.2.6.1.3

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$\frac{x^{2} + 2 x + 1 - x^{2} - 4 x - 4 x - 16 + (x + 5) (x - 5)}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

Étape 3.2.6.2

Soustrayez $4 x$ de $- 4 x$ .

$\frac{x^{2} + 2 x + 1 - x^{2} - 8 x - 16 + (x + 5) (x - 5)}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

Étape 3.2.7

Développez $(x + 5) (x - 5)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.2.7.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} + 2 x + 1 - x^{2} - 8 x - 16 + x (x - 5) + 5 (x - 5)}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

Étape 3.2.7.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} + 2 x + 1 - x^{2} - 8 x - 16 + x \cdot x + x \cdot - 5 + 5 (x - 5)}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

Étape 3.2.7.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} + 2 x + 1 - x^{2} - 8 x - 16 + x \cdot x + x \cdot - 5 + 5 x + 5 \cdot - 5}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

Étape 3.2.8

Associez les termes opposés dans $x \cdot x + x \cdot - 5 + 5 x + 5 \cdot - 5$ .

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Étape 3.2.8.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $x \cdot - 5$ et $5 x$ .

$\frac{x^{2} + 2 x + 1 - x^{2} - 8 x - 16 + x \cdot x - 5 x + 5 x + 5 \cdot - 5}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

Étape 3.2.8.2

Additionnez $- 5 x$ et $5 x$ .

$\frac{x^{2} + 2 x + 1 - x^{2} - 8 x - 16 + x \cdot x + 0 + 5 \cdot - 5}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

Étape 3.2.8.3

Additionnez $x \cdot x$ et $0$ .

$\frac{x^{2} + 2 x + 1 - x^{2} - 8 x - 16 + x \cdot x + 5 \cdot - 5}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

Étape 3.2.9

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.9.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x^{2} + 2 x + 1 - x^{2} - 8 x - 16 + x^{2} + 5 \cdot - 5}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

Étape 3.2.9.2

Multipliez $5$ par $- 5$ .

$\frac{x^{2} + 2 x + 1 - x^{2} - 8 x - 16 + x^{2} - 25}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

Étape 3.3

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 3.3.1

Associez les termes opposés dans $x^{2} + 2 x + 1 - x^{2} - 8 x - 16 + x^{2} - 25$ .

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Étape 3.3.1.1

Soustrayez $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{2 x + 1 + 0 - 8 x - 16 + x^{2} - 25}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

Étape 3.3.1.2

Additionnez $2 x + 1$ et $0$ .

$\frac{2 x + 1 - 8 x - 16 + x^{2} - 25}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

Étape 3.3.2

Soustrayez $8 x$ de $2 x$ .

$\frac{- 6 x + 1 - 16 + x^{2} - 25}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

Étape 3.3.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.3.3.1

Soustrayez $16$ de $1$ .

$\frac{- 6 x - 15 + x^{2} - 25}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

Étape 3.3.3.2

Soustrayez $25$ de $- 15$ .

$\frac{- 6 x + x^{2} - 40}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

Étape 3.3.3.3

Remettez dans l’ordre $- 6 x$ et $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 6 x - 40}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

Étape 4

Factorisez $x^{2} - 6 x - 40$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 4.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 40$ et dont la somme est $- 6$ .

$- 10, 4$

Étape 4.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(x - 10) (x + 4)}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

Étape 5

Annulez le facteur commun de $x + 4$ .

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Étape 5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x - 10) (x + 4)}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

Étape 5.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x - 10}{(x + 1) (x - 5)}$