Algèbre Exemples

$\frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}$

Étape 1

Multipliez $\frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}$ par $\frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}}$ .

$\frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} \cdot \frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}}$

Étape 2

Associez les fractions.

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Étape 2.1

Multipliez $\frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}$ par $\frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}}$ .

$\frac{(\sqrt{a} - \sqrt{b}) (\sqrt{a} - \sqrt{b})}{(\sqrt{a} + \sqrt{b}) (\sqrt{a} - \sqrt{b})}$

Étape 2.2

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$\frac{(\sqrt{a} - \sqrt{b}) (\sqrt{a} - \sqrt{b})}{{\sqrt{a}}^{2} - \sqrt{a b} + \sqrt{b a} - {\sqrt{b}}^{2}}$

Étape 2.3

Simplifiez

$\frac{(\sqrt{a} - \sqrt{b}) (\sqrt{a} - \sqrt{b})}{a - b}$

Étape 3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1

Élevez $\sqrt{a} - \sqrt{b}$ à la puissance $1$ .

$\frac{{(\sqrt{a} - \sqrt{b})}^{1} (\sqrt{a} - \sqrt{b})}{a - b}$

Étape 3.2

Élevez $\sqrt{a} - \sqrt{b}$ à la puissance $1$ .

$\frac{{(\sqrt{a} - \sqrt{b})}^{1} {(\sqrt{a} - \sqrt{b})}^{1}}{a - b}$

Étape 3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{{(\sqrt{a} - \sqrt{b})}^{1 + 1}}{a - b}$

Étape 3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{{(\sqrt{a} - \sqrt{b})}^{2}}{a - b}$

Étape 4

Réécrivez ${(\sqrt{a} - \sqrt{b})}^{2}$ comme $(\sqrt{a} - \sqrt{b}) (\sqrt{a} - \sqrt{b})$ .

$\frac{(\sqrt{a} - \sqrt{b}) (\sqrt{a} - \sqrt{b})}{a - b}$

Étape 5

Développez $(\sqrt{a} - \sqrt{b}) (\sqrt{a} - \sqrt{b})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{a} (\sqrt{a} - \sqrt{b}) - \sqrt{b} (\sqrt{a} - \sqrt{b})}{a - b}$

Étape 5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{a} \sqrt{a} + \sqrt{a} (- \sqrt{b}) - \sqrt{b} (\sqrt{a} - \sqrt{b})}{a - b}$

Étape 5.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{a} \sqrt{a} + \sqrt{a} (- \sqrt{b}) - \sqrt{b} \sqrt{a} - \sqrt{b} (- \sqrt{b})}{a - b}$

Étape 6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1.1

Multipliez $\sqrt{a} \sqrt{a}$ .

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Étape 6.1.1.1

Élevez $\sqrt{a}$ à la puissance $1$ .

$\frac{{\sqrt{a}}^{1} \sqrt{a} + \sqrt{a} (- \sqrt{b}) - \sqrt{b} \sqrt{a} - \sqrt{b} (- \sqrt{b})}{a - b}$

Étape 6.1.1.2

Élevez $\sqrt{a}$ à la puissance $1$ .

$\frac{{\sqrt{a}}^{1} {\sqrt{a}}^{1} + \sqrt{a} (- \sqrt{b}) - \sqrt{b} \sqrt{a} - \sqrt{b} (- \sqrt{b})}{a - b}$

Étape 6.1.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{{\sqrt{a}}^{1 + 1} + \sqrt{a} (- \sqrt{b}) - \sqrt{b} \sqrt{a} - \sqrt{b} (- \sqrt{b})}{a - b}$

Étape 6.1.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{{\sqrt{a}}^{2} + \sqrt{a} (- \sqrt{b}) - \sqrt{b} \sqrt{a} - \sqrt{b} (- \sqrt{b})}{a - b}$

Étape 6.1.2

Réécrivez ${\sqrt{a}}^{2}$ comme $a$ .

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Étape 6.1.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{a}$ comme $a^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(a^{\frac{1}{2}})}^{2} + \sqrt{a} (- \sqrt{b}) - \sqrt{b} \sqrt{a} - \sqrt{b} (- \sqrt{b})}{a - b}$

Étape 6.1.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{a^{\frac{1}{2} \cdot 2} + \sqrt{a} (- \sqrt{b}) - \sqrt{b} \sqrt{a} - \sqrt{b} (- \sqrt{b})}{a - b}$

Étape 6.1.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{a^{\frac{2}{2}} + \sqrt{a} (- \sqrt{b}) - \sqrt{b} \sqrt{a} - \sqrt{b} (- \sqrt{b})}{a - b}$

Étape 6.1.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.1.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{a^{\frac{2}{2}} + \sqrt{a} (- \sqrt{b}) - \sqrt{b} \sqrt{a} - \sqrt{b} (- \sqrt{b})}{a - b}$

Étape 6.1.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{a^{1} + \sqrt{a} (- \sqrt{b}) - \sqrt{b} \sqrt{a} - \sqrt{b} (- \sqrt{b})}{a - b}$

Étape 6.1.2.5

Simplifiez

$\frac{a + \sqrt{a} (- \sqrt{b}) - \sqrt{b} \sqrt{a} - \sqrt{b} (- \sqrt{b})}{a - b}$

Étape 6.1.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{a - \sqrt{a} \sqrt{b} - \sqrt{b} \sqrt{a} - \sqrt{b} (- \sqrt{b})}{a - b}$

Étape 6.1.4

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{a - \sqrt{b a} - \sqrt{b} \sqrt{a} - \sqrt{b} (- \sqrt{b})}{a - b}$

Étape 6.1.5

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{a - \sqrt{b a} - \sqrt{a b} - \sqrt{b} (- \sqrt{b})}{a - b}$

Étape 6.1.6

Multipliez $- \sqrt{b} (- \sqrt{b})$ .

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Étape 6.1.6.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{a - \sqrt{b a} - \sqrt{a b} + 1 \sqrt{b} \sqrt{b}}{a - b}$

Étape 6.1.6.2

Multipliez $\sqrt{b}$ par $1$ .

$\frac{a - \sqrt{b a} - \sqrt{a b} + \sqrt{b} \sqrt{b}}{a - b}$

Étape 6.1.6.3

Élevez $\sqrt{b}$ à la puissance $1$ .

$\frac{a - \sqrt{b a} - \sqrt{a b} + {\sqrt{b}}^{1} \sqrt{b}}{a - b}$

Étape 6.1.6.4

Élevez $\sqrt{b}$ à la puissance $1$ .

$\frac{a - \sqrt{b a} - \sqrt{a b} + {\sqrt{b}}^{1} {\sqrt{b}}^{1}}{a - b}$

Étape 6.1.6.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{a - \sqrt{b a} - \sqrt{a b} + {\sqrt{b}}^{1 + 1}}{a - b}$

Étape 6.1.6.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{a - \sqrt{b a} - \sqrt{a b} + {\sqrt{b}}^{2}}{a - b}$

Étape 6.1.7

Réécrivez ${\sqrt{b}}^{2}$ comme $b$ .

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Étape 6.1.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{b}$ comme $b^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{a - \sqrt{b a} - \sqrt{a b} + {(b^{\frac{1}{2}})}^{2}}{a - b}$

Étape 6.1.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{a - \sqrt{b a} - \sqrt{a b} + b^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{a - b}$

Étape 6.1.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{a - \sqrt{b a} - \sqrt{a b} + b^{\frac{2}{2}}}{a - b}$

Étape 6.1.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.1.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{a - \sqrt{b a} - \sqrt{a b} + b^{\frac{2}{2}}}{a - b}$

Étape 6.1.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{a - \sqrt{b a} - \sqrt{a b} + b^{1}}{a - b}$

Étape 6.1.7.5

Simplifiez

$\frac{a - \sqrt{b a} - \sqrt{a b} + b}{a - b}$

Étape 6.2

Soustrayez $\sqrt{a b}$ de $- \sqrt{b a}$ .

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Étape 6.2.1

Remettez dans l’ordre $b$ et $a$ .

$\frac{a - \sqrt{a b} - \sqrt{a b} + b}{a - b}$

Étape 6.2.2

Soustrayez $\sqrt{a b}$ de $- \sqrt{a b}$ .

$\frac{a - 2 \sqrt{a b} + b}{a - b}$