Algèbre Exemples

$\frac{{(2 x y)}^{4}}{4 x y} = 4 x^{a} y^{b}$

Étape 1

Réécrivez l’équation comme $4 x^{a} y^{b} = \frac{{(2 x y)}^{4}}{4 x y}$ .

$4 x^{a} y^{b} = \frac{{(2 x y)}^{4}}{4 x y}$

Étape 2

Divisez chaque terme dans $4 x^{a} y^{b} = \frac{{(2 x y)}^{4}}{4 x y}$ par $4 x^{a}$ et simplifiez.

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Étape 2.1

Divisez chaque terme dans $4 x^{a} y^{b} = \frac{{(2 x y)}^{4}}{4 x y}$ par $4 x^{a}$ .

$\frac{4 x^{a} y^{b}}{4 x^{a}} = \frac{\frac{{(2 x y)}^{4}}{4 x y}}{4 x^{a}}$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x^{a} y^{b}}{4 x^{a}} = \frac{\frac{{(2 x y)}^{4}}{4 x y}}{4 x^{a}}$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{a} y^{b}}{x^{a}} = \frac{\frac{{(2 x y)}^{4}}{4 x y}}{4 x^{a}}$

Étape 2.2.2

Annulez le facteur commun de $x^{a}$ .

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Étape 2.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{a} y^{b}}{x^{a}} = \frac{\frac{{(2 x y)}^{4}}{4 x y}}{4 x^{a}}$

Étape 2.2.2.2

Divisez $y^{b}$ par $1$ .

$y^{b} = \frac{\frac{{(2 x y)}^{4}}{4 x y}}{4 x^{a}}$

Étape 2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$y^{b} = \frac{{(2 x y)}^{4}}{4 x y} \cdot \frac{1}{4 x^{a}}$

Étape 2.3.2

Associez.

$y^{b} = \frac{{(2 x y)}^{4} \cdot 1}{4 x y (4 x^{a})}$

Étape 2.3.3

Multipliez $x$ par $x^{a}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.3.3.1

Déplacez $x^{a}$ .

$y^{b} = \frac{{(2 x y)}^{4} \cdot 1}{4 (x^{a} x) y \cdot 4}$

Étape 2.3.3.2

Multipliez $x^{a}$ par $x$ .

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Étape 2.3.3.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$y^{b} = \frac{{(2 x y)}^{4} \cdot 1}{4 (x^{a} x^{1}) y \cdot 4}$

Étape 2.3.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y^{b} = \frac{{(2 x y)}^{4} \cdot 1}{4 x^{a + 1} y \cdot 4}$

Étape 2.3.4

Multipliez ${(2 x y)}^{4}$ par $1$ .

$y^{b} = \frac{{(2 x y)}^{4}}{4 x^{a + 1} y \cdot 4}$

Étape 2.3.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.5.1

Appliquez la règle de produit à $2 x y$ .

$y^{b} = \frac{{(2 x)}^{4} y^{4}}{4 x^{a + 1} y \cdot 4}$

Étape 2.3.5.2

Appliquez la règle de produit à $2 x$ .

$y^{b} = \frac{2^{4} x^{4} y^{4}}{4 x^{a + 1} y \cdot 4}$

Étape 2.3.5.3

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$y^{b} = \frac{16 x^{4} y^{4}}{4 x^{a + 1} y \cdot 4}$

Étape 2.3.6

Simplifiez les termes.

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Étape 2.3.6.1

Multipliez $4$ par $4$ .

$y^{b} = \frac{16 x^{4} y^{4}}{16 x^{a + 1} y}$

Étape 2.3.6.2

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 2.3.6.2.1

Annulez le facteur commun de $16$ .

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Étape 2.3.6.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$y^{b} = \frac{16 x^{4} y^{4}}{16 x^{a + 1} y}$

Étape 2.3.6.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$y^{b} = \frac{x^{4} y^{4}}{x^{a + 1} y}$

Étape 2.3.6.2.2

Annulez le facteur commun à $x^{4}$ et $x^{a + 1}$ .

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Étape 2.3.6.2.2.1

Factorisez $x^{a + 1}$ à partir de $x^{4} y^{4}$ .

$y^{b} = \frac{x^{a + 1} (x^{4 - (a + 1)} y^{4})}{x^{a + 1} y}$

Étape 2.3.6.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.6.2.2.2.1

Factorisez $x^{a + 1}$ à partir de $x^{a + 1} y$ .

$y^{b} = \frac{x^{a + 1} (x^{4 - (a + 1)} y^{4})}{x^{a + 1} (y)}$

Étape 2.3.6.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$y^{b} = \frac{x^{a + 1} (x^{4 - (a + 1)} y^{4})}{x^{a + 1} y}$

Étape 2.3.6.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$y^{b} = \frac{x^{4 - (a + 1)} y^{4}}{y}$

Étape 2.3.6.2.3

Annulez le facteur commun à $y^{4}$ et $y$ .

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Étape 2.3.6.2.3.1

Factorisez $y$ à partir de $x^{4 - (a + 1)} y^{4}$ .

$y^{b} = \frac{y (x^{4 - (a + 1)} y^{3})}{y}$

Étape 2.3.6.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.6.2.3.2.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$y^{b} = \frac{y (x^{4 - (a + 1)} y^{3})}{y^{1}}$

Étape 2.3.6.2.3.2.2

Factorisez $y$ à partir de $y^{1}$ .

$y^{b} = \frac{y (x^{4 - (a + 1)} y^{3})}{y \cdot 1}$

Étape 2.3.6.2.3.2.3

Annulez le facteur commun.

$y^{b} = \frac{y (x^{4 - (a + 1)} y^{3})}{y \cdot 1}$

Étape 2.3.6.2.3.2.4

Réécrivez l’expression.

$y^{b} = \frac{x^{4 - (a + 1)} y^{3}}{1}$

Étape 2.3.6.2.3.2.5

Divisez $x^{4 - (a + 1)} y^{3}$ par $1$ .

$y^{b} = x^{4 - (a + 1)} y^{3}$

Étape 2.3.6.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.6.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$y^{b} = x^{4 - a - 1 \cdot 1} y^{3}$

Étape 2.3.6.3.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$y^{b} = x^{4 - a - 1} y^{3}$

Étape 2.3.6.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.3.6.4.1

Soustrayez $1$ de $4$ .

$y^{b} = x^{- a + 3} y^{3}$

Étape 2.3.6.4.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $x^{- a + 3} y^{3}$ .

$y^{b} = y^{3} x^{- a + 3}$

Étape 3

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (y^{b}) = \ln (y^{3} x^{- a + 3})$

Étape 4

Développez $\ln (y^{b})$ en déplaçant $b$ hors du logarithme.

$b \ln (y) = \ln (y^{3} x^{- a + 3})$

Étape 5

Développez le côté droit.

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Étape 5.1

Réécrivez $\ln (y^{3} x^{- a + 3})$ comme $\ln (y^{3}) + \ln (x^{- a + 3})$ .

$b \ln (y) = \ln (y^{3}) + \ln (x^{- a + 3})$

Étape 5.2

Développez $\ln (y^{3})$ en déplaçant $3$ hors du logarithme.

$b \ln (y) = 3 \ln (y) + \ln (x^{- a + 3})$

Étape 5.3

Développez $\ln (x^{- a + 3})$ en déplaçant $- a + 3$ hors du logarithme.

$b \ln (y) = 3 \ln (y) + (- a + 3) \ln (x)$

Étape 6

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$b \ln (y) = 3 \ln (y) - a \ln (x) + 3 \ln (x)$

Étape 7

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$b \ln (y) - 3 \ln (y) + a \ln (x) - 3 \ln (x) = 0$

Étape 8

Déplacez tous les termes ne contenant pas $b$ du côté droit de l’équation.

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Étape 8.1

Ajoutez $3 \ln (y)$ aux deux côtés de l’équation.

$b \ln (y) + a \ln (x) - 3 \ln (x) = 3 \ln (y)$

Étape 8.2

Soustrayez $a \ln (x)$ des deux côtés de l’équation.

$b \ln (y) - 3 \ln (x) = 3 \ln (y) - a \ln (x)$

Étape 8.3

Ajoutez $3 \ln (x)$ aux deux côtés de l’équation.

$b \ln (y) = 3 \ln (y) - a \ln (x) + 3 \ln (x)$

Étape 9

Divisez chaque terme dans $b \ln (y) = 3 \ln (y) - a \ln (x) + 3 \ln (x)$ par $\ln (y)$ et simplifiez.

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Étape 9.1

Divisez chaque terme dans $b \ln (y) = 3 \ln (y) - a \ln (x) + 3 \ln (x)$ par $\ln (y)$ .

$\frac{b \ln (y)}{\ln (y)} = \frac{3 \ln (y)}{\ln (y)} + \frac{- a \ln (x)}{\ln (y)} + \frac{3 \ln (x)}{\ln (y)}$

Étape 9.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 9.2.1

Annulez le facteur commun de $\ln (y)$ .

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Étape 9.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{b \ln (y)}{\ln (y)} = \frac{3 \ln (y)}{\ln (y)} + \frac{- a \ln (x)}{\ln (y)} + \frac{3 \ln (x)}{\ln (y)}$

Étape 9.2.1.2

Divisez $b$ par $1$ .

$b = \frac{3 \ln (y)}{\ln (y)} + \frac{- a \ln (x)}{\ln (y)} + \frac{3 \ln (x)}{\ln (y)}$

Étape 9.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 9.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.3.1.1

Annulez le facteur commun de $\ln (y)$ .

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Étape 9.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$b = \frac{3 \ln (y)}{\ln (y)} + \frac{- a \ln (x)}{\ln (y)} + \frac{3 \ln (x)}{\ln (y)}$

Étape 9.3.1.1.2

Divisez $3$ par $1$ .

$b = 3 + \frac{- a \ln (x)}{\ln (y)} + \frac{3 \ln (x)}{\ln (y)}$

Étape 9.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$b = 3 - \frac{a \ln (x)}{\ln (y)} + \frac{3 \ln (x)}{\ln (y)}$