Algèbre Exemples

$\frac{x + 1}{x^{2} - 1} + \frac{x - 1}{x^{2} - 2 x + 1}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{x + 1}{x^{2} - 1^{2}} + \frac{x - 1}{x^{2} - 2 x + 1}$

Étape 1.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$\frac{x + 1}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{x - 1}{x^{2} - 2 x + 1}$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun de $x + 1$ .

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Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x + 1}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{x - 1}{x^{2} - 2 x + 1}$

Étape 1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{x - 1} + \frac{x - 1}{x^{2} - 2 x + 1}$

Étape 1.3

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 1.3.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{1}{x - 1} + \frac{x - 1}{x^{2} - 2 x + 1^{2}}$

Étape 1.3.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Étape 1.3.3

Réécrivez le polynôme.

$\frac{1}{x - 1} + \frac{x - 1}{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}}$

Étape 1.3.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 1$ .

$\frac{1}{x - 1} + \frac{x - 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 1.4

Annulez le facteur commun à $x - 1$ et ${(x - 1)}^{2}$ .

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Étape 1.4.1

Multipliez par $1$ .

$\frac{1}{x - 1} + \frac{(x - 1) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.4.2.1

Factorisez $x - 1$ à partir de ${(x - 1)}^{2}$ .

$\frac{1}{x - 1} + \frac{(x - 1) \cdot 1}{(x - 1) (x - 1)}$

Étape 1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{x - 1} + \frac{(x - 1) \cdot 1}{(x - 1) (x - 1)}$

Étape 1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x - 1}$

Étape 2

Associez les fractions.

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Étape 2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1 + 1}{x - 1}$

Étape 2.2

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2}{x - 1}$