Algèbre Exemples

$\frac{4 x^{2} - 4 x + 1}{8 x^{3} - 1}$

Étape 1

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 1.1

Réécrivez $4 x^{2}$ comme ${(2 x)}^{2}$ .

$\frac{{(2 x)}^{2} - 4 x + 1}{8 x^{3} - 1}$

Étape 1.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{{(2 x)}^{2} - 4 x + 1^{2}}{8 x^{3} - 1}$

Étape 1.3

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$4 x = 2 \cdot (2 x) \cdot 1$

Étape 1.4

Réécrivez le polynôme.

$\frac{{(2 x)}^{2} - 2 \cdot (2 x) \cdot 1 + 1^{2}}{8 x^{3} - 1}$

Étape 1.5

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = 2 x$ et $b = 1$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{2}}{8 x^{3} - 1}$

Étape 2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1

Réécrivez $8 x^{3}$ comme ${(2 x)}^{3}$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{2}}{{(2 x)}^{3} - 1}$

Étape 2.2

Réécrivez $1$ comme $1^{3}$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{2}}{{(2 x)}^{3} - 1^{3}}$

Étape 2.3

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = 2 x$ et $b = 1$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{2}}{(2 x - 1) ({(2 x)}^{2} + 2 x \cdot 1 + 1^{2})}$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Appliquez la règle de produit à $2 x$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{2}}{(2 x - 1) (2^{2} x^{2} + 2 x \cdot 1 + 1^{2})}$

Étape 2.4.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{2}}{(2 x - 1) (4 x^{2} + 2 x \cdot 1 + 1^{2})}$

Étape 2.4.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{2}}{(2 x - 1) (4 x^{2} + 2 x + 1^{2})}$

Étape 2.4.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{{(2 x - 1)}^{2}}{(2 x - 1) (4 x^{2} + 2 x + 1)}$

Étape 3

Annulez le facteur commun à ${(2 x - 1)}^{2}$ et $2 x - 1$ .

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Étape 3.1

Factorisez $2 x - 1$ à partir de ${(2 x - 1)}^{2}$ .

$\frac{(2 x - 1) (2 x - 1)}{(2 x - 1) (4 x^{2} + 2 x + 1)}$

Étape 3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(2 x - 1) (2 x - 1)}{(2 x - 1) (4 x^{2} + 2 x + 1)}$

Étape 3.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 x - 1}{4 x^{2} + 2 x + 1}$