Algèbre Exemples

$\frac{x^{2} - 1}{3 x + 9} \leq 0$

Étape 1

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$x^{2} - 1 = 0$

$3 x + 9 = 0$

Étape 2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} = 1$

Étape 3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{1}$

Étape 4

Toute racine de $1$ est $1$ .

$x = \pm 1$

Étape 5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 1$

Étape 5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 1$

Étape 5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 1, - 1$

Étape 6

Soustrayez $9$ des deux côtés de l’équation.

$3 x = - 9$

Étape 7

Divisez chaque terme dans $3 x = - 9$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 7.1

Divisez chaque terme dans $3 x = - 9$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 9}{3}$

Étape 7.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 7.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 9}{3}$

Étape 7.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 9}{3}$

Étape 7.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.3.1

Divisez $- 9$ par $3$ .

$x = - 3$

Étape 8

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$x = 1, - 1$

$x = - 3$

Étape 9

Consolidez les solutions.

$x = 1, - 1, - 3$

Étape 10

Déterminez le domaine de $\frac{x^{2} - 1}{3 x + 9}$ .

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Étape 10.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{x^{2} - 1}{3 x + 9}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$3 x + 9 = 0$

Étape 10.2

Résolvez $x$ .

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Étape 10.2.1

Soustrayez $9$ des deux côtés de l’équation.

$3 x = - 9$

Étape 10.2.2

Divisez chaque terme dans $3 x = - 9$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 10.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x = - 9$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 9}{3}$

Étape 10.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 10.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 10.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 9}{3}$

Étape 10.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 9}{3}$

Étape 10.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 10.2.2.3.1

Divisez $- 9$ par $3$ .

$x = - 3$

Étape 10.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, \infty)$

Étape 11

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 3$

$- 3 < x < - 1$

$- 1 < x < 1$

$x > 1$

Étape 12

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 12.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 3$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 12.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 3$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 6$

Étape 12.1.2

Remplacez $x$ par $- 6$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{{(- 6)}^{2} - 1}{3 (- 6) + 9} \leq 0$

Étape 12.1.3

Le côté gauche $- 3.\overline{8}$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 12.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 3 < x < - 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 12.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 3 < x < - 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 2$

Étape 12.2.2

Remplacez $x$ par $- 2$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{{(- 2)}^{2} - 1}{3 (- 2) + 9} \leq 0$

Étape 12.2.3

Le côté gauche $1$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 12.3

Testez une valeur sur l’intervalle $- 1 < x < 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 12.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 1 < x < 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 12.3.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{{(0)}^{2} - 1}{3 (0) + 9} \leq 0$

Étape 12.3.3

Le côté gauche $- 0.\overline{1}$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 12.4

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 12.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Étape 12.4.2

Remplacez $x$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{{(4)}^{2} - 1}{3 (4) + 9} \leq 0$

Étape 12.4.3

Le côté gauche $0.\overline{714285}$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 12.5

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 3$ Vrai

$- 3 < x < - 1$ Faux

$- 1 < x < 1$ Vrai

$x > 1$ Faux

$x < - 3$ Vrai

$- 3 < x < - 1$ Faux

$- 1 < x < 1$ Vrai

$x > 1$ Faux

Étape 13

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x < - 3$ ou $- 1 \leq x \leq 1$

Étape 14

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$x < - 3 or - 1 \leq x \leq 1$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - 3) \cup [- 1, 1]$

Étape 15