Algèbre Exemples

$\frac{3 + 2 i}{2 - 3 i}$

Étape 1

Multipliez le numérateur et le dénominateur de $\frac{3 + 2 i}{2 - 3 i}$ par le conjugué de $2 - 3 i$ pour rendre le dénominateur réel.

$\frac{3 + 2 i}{2 - 3 i} \cdot \frac{2 + 3 i}{2 + 3 i}$

Étape 2

Multipliez.

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Étape 2.1

Associez.

$\frac{(3 + 2 i) (2 + 3 i)}{(2 - 3 i) (2 + 3 i)}$

Étape 2.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.1

Développez $(3 + 2 i) (2 + 3 i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 (2 + 3 i) + 2 i (2 + 3 i)}{(2 - 3 i) (2 + 3 i)}$

Étape 2.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 \cdot 2 + 3 (3 i) + 2 i (2 + 3 i)}{(2 - 3 i) (2 + 3 i)}$

Étape 2.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 \cdot 2 + 3 (3 i) + 2 i \cdot 2 + 2 i (3 i)}{(2 - 3 i) (2 + 3 i)}$

Étape 2.2.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.2.1.1

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{6 + 3 (3 i) + 2 i \cdot 2 + 2 i (3 i)}{(2 - 3 i) (2 + 3 i)}$

Étape 2.2.2.1.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{6 + 9 i + 2 i \cdot 2 + 2 i (3 i)}{(2 - 3 i) (2 + 3 i)}$

Étape 2.2.2.1.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{6 + 9 i + 4 i + 2 i (3 i)}{(2 - 3 i) (2 + 3 i)}$

Étape 2.2.2.1.4

Multipliez $2 i (3 i)$ .

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Étape 2.2.2.1.4.1

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{6 + 9 i + 4 i + 6 i i}{(2 - 3 i) (2 + 3 i)}$

Étape 2.2.2.1.4.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{6 + 9 i + 4 i + 6 (i^{1} i)}{(2 - 3 i) (2 + 3 i)}$

Étape 2.2.2.1.4.3

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{6 + 9 i + 4 i + 6 (i^{1} i^{1})}{(2 - 3 i) (2 + 3 i)}$

Étape 2.2.2.1.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{6 + 9 i + 4 i + 6 i^{1 + 1}}{(2 - 3 i) (2 + 3 i)}$

Étape 2.2.2.1.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{6 + 9 i + 4 i + 6 i^{2}}{(2 - 3 i) (2 + 3 i)}$

Étape 2.2.2.1.5

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{6 + 9 i + 4 i + 6 \cdot - 1}{(2 - 3 i) (2 + 3 i)}$

Étape 2.2.2.1.6

Multipliez $6$ par $- 1$ .

$\frac{6 + 9 i + 4 i - 6}{(2 - 3 i) (2 + 3 i)}$

Étape 2.2.2.2

Soustrayez $6$ de $6$ .

$\frac{0 + 9 i + 4 i}{(2 - 3 i) (2 + 3 i)}$

Étape 2.2.2.3

Additionnez $0$ et $9 i$ .

$\frac{9 i + 4 i}{(2 - 3 i) (2 + 3 i)}$

Étape 2.2.2.4

Additionnez $9 i$ et $4 i$ .

$\frac{13 i}{(2 - 3 i) (2 + 3 i)}$

Étape 2.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.3.1

Développez $(2 - 3 i) (2 + 3 i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{13 i}{2 (2 + 3 i) - 3 i (2 + 3 i)}$

Étape 2.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{13 i}{2 \cdot 2 + 2 (3 i) - 3 i (2 + 3 i)}$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{13 i}{2 \cdot 2 + 2 (3 i) - 3 i \cdot 2 - 3 i (3 i)}$

Étape 2.3.2

Simplifiez

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Étape 2.3.2.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{13 i}{4 + 2 (3 i) - 3 i \cdot 2 - 3 i (3 i)}$

Étape 2.3.2.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{13 i}{4 + 6 i - 3 i \cdot 2 - 3 i (3 i)}$

Étape 2.3.2.3

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$\frac{13 i}{4 + 6 i - 6 i - 3 i (3 i)}$

Étape 2.3.2.4

Multipliez $3$ par $- 3$ .

$\frac{13 i}{4 + 6 i - 6 i - 9 i i}$

Étape 2.3.2.5

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{13 i}{4 + 6 i - 6 i - 9 (i^{1} i)}$

Étape 2.3.2.6

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{13 i}{4 + 6 i - 6 i - 9 (i^{1} i^{1})}$

Étape 2.3.2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{13 i}{4 + 6 i - 6 i - 9 i^{1 + 1}}$

Étape 2.3.2.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{13 i}{4 + 6 i - 6 i - 9 i^{2}}$

Étape 2.3.2.9

Soustrayez $6 i$ de $6 i$ .

$\frac{13 i}{4 + 0 - 9 i^{2}}$

Étape 2.3.2.10

Additionnez $4$ et $0$ .

$\frac{13 i}{4 - 9 i^{2}}$

Étape 2.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.3.1

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{13 i}{4 - 9 \cdot - 1}$

Étape 2.3.3.2

Multipliez $- 9$ par $- 1$ .

$\frac{13 i}{4 + 9}$

Étape 2.3.4

Additionnez $4$ et $9$ .

$\frac{13 i}{13}$

Étape 3

Annulez le facteur commun de $13$ .

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Étape 3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{13 i}{13}$

Étape 3.2

Divisez $i$ par $1$ .

$i$