Algèbre Exemples

$2 x^{2} + x \geq 15$

Étape 1

Convertissez l’inégalité en une équation.

$2 x^{2} + x = 15$

Étape 2

Soustrayez $15$ des deux côtés de l’équation.

$2 x^{2} + x - 15 = 0$

Étape 3

Factorisez par regroupement.

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Étape 3.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot - 15 = - 30$ et dont la somme est $b = 1$ .

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Étape 3.1.1

Multipliez par $1$ .

$2 x^{2} + 1 x - 15 = 0$

Étape 3.1.2

Réécrivez $1$ comme $- 5$ plus $6$

$2 x^{2} + (- 5 + 6) x - 15 = 0$

Étape 3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 x^{2} - 5 x + 6 x - 15 = 0$

Étape 3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 3.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(2 x^{2} - 5 x) + 6 x - 15 = 0$

Étape 3.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$x (2 x - 5) + 3 (2 x - 5) = 0$

Étape 3.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 x - 5$ .

$(2 x - 5) (x + 3) = 0$

Étape 4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$2 x - 5 = 0$

$x + 3 = 0$

Étape 5

Définissez $2 x - 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Définissez $2 x - 5$ égal à $0$ .

$2 x - 5 = 0$

Étape 5.2

Résolvez $2 x - 5 = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.2.1

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x = 5$

Étape 5.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x = 5$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 5$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

Étape 5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

Étape 5.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{5}{2}$

Étape 6

Définissez $x + 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Définissez $x + 3$ égal à $0$ .

$x + 3 = 0$

Étape 6.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 3$

Étape 7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(2 x - 5) (x + 3) = 0$ vraie.

$x = \frac{5}{2}, - 3$

Étape 8

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 3$

$- 3 < x < \frac{5}{2}$

$x > \frac{5}{2}$

Étape 9

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 9.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 3$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 9.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 3$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 6$

Étape 9.1.2

Remplacez $x$ par $- 6$ dans l’inégalité d’origine.

$2 {(- 6)}^{2} - 6 \geq 15$

Étape 9.1.3

Le côté gauche $66$ est supérieur au côté droit $15$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 9.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 3 < x < \frac{5}{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 9.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 3 < x < \frac{5}{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 9.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$2 {(0)}^{2} + 0 \geq 15$

Étape 9.2.3

Le côté gauche $0$ est inférieur au côté droit $15$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 9.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > \frac{5}{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 9.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > \frac{5}{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 5$

Étape 9.3.2

Remplacez $x$ par $5$ dans l’inégalité d’origine.

$2 {(5)}^{2} + 5 \geq 15$

Étape 9.3.3

Le côté gauche $55$ est supérieur au côté droit $15$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 9.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 3$ Vrai

$- 3 < x < \frac{5}{2}$ Faux

$x > \frac{5}{2}$ Vrai

$x < - 3$ Vrai

$- 3 < x < \frac{5}{2}$ Faux

$x > \frac{5}{2}$ Vrai

Étape 10

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x \leq - 3$ ou $x \geq \frac{5}{2}$

Étape 11

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$x \leq - 3 or x \geq \frac{5}{2}$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - 3] \cup [\frac{5}{2}, \infty)$

Étape 12