Algèbre Exemples

$\frac{1}{x + 1} - \frac{5 x - 2}{x^{2} - 5 x - 6} + \frac{x}{6 - x}$

Étape 1

Factorisez $x^{2} - 5 x - 6$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 6$ et dont la somme est $- 5$ .

$- 6, 1$

Étape 1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{1}{x + 1} - \frac{5 x - 2}{(x - 6) (x + 1)} + \frac{x}{6 - x}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{1}{x + 1}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 6}{x - 6}$ .

$\frac{1}{x + 1} \cdot \frac{x - 6}{x - 6} - \frac{5 x - 2}{(x - 6) (x + 1)} + \frac{x}{6 - x}$

Étape 3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x + 1) (x - 6)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{1}{x + 1}$ par $\frac{x - 6}{x - 6}$ .

$\frac{x - 6}{(x + 1) (x - 6)} - \frac{5 x - 2}{(x - 6) (x + 1)} + \frac{x}{6 - x}$

Étape 3.2

Réorganisez les facteurs de $(x - 6) (x + 1)$ .

$\frac{x - 6}{(x + 1) (x - 6)} - \frac{5 x - 2}{(x + 1) (x - 6)} + \frac{x}{6 - x}$

Étape 4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x - 6 - (5 x - 2)}{(x + 1) (x - 6)} + \frac{x}{6 - x}$

Étape 5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x - 6 - (5 x) - - 2}{(x + 1) (x - 6)} + \frac{x}{6 - x}$

Étape 5.1.2

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$\frac{x - 6 - 5 x - - 2}{(x + 1) (x - 6)} + \frac{x}{6 - x}$

Étape 5.1.3

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$\frac{x - 6 - 5 x + 2}{(x + 1) (x - 6)} + \frac{x}{6 - x}$

Étape 5.1.4

Soustrayez $5 x$ de $x$ .

$\frac{- 4 x - 6 + 2}{(x + 1) (x - 6)} + \frac{x}{6 - x}$

Étape 5.1.5

Additionnez $- 6$ et $2$ .

$\frac{- 4 x - 4}{(x + 1) (x - 6)} + \frac{x}{6 - x}$

Étape 5.1.6

Factorisez $4$ à partir de $- 4 x - 4$ .

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Étape 5.1.6.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4 x$ .

$\frac{4 (- x) - 4}{(x + 1) (x - 6)} + \frac{x}{6 - x}$

Étape 5.1.6.2

Factorisez $4$ à partir de $- 4$ .

$\frac{4 (- x) + 4 (- 1)}{(x + 1) (x - 6)} + \frac{x}{6 - x}$

Étape 5.1.6.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (- x) + 4 (- 1)$ .

$\frac{4 (- x - 1)}{(x + 1) (x - 6)} + \frac{x}{6 - x}$

Étape 5.2

Annulez le facteur commun à $- x - 1$ et $x + 1$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{4 (- (x) - 1)}{(x + 1) (x - 6)} + \frac{x}{6 - x}$

Étape 5.2.2

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$\frac{4 (- (x) - 1 (1))}{(x + 1) (x - 6)} + \frac{x}{6 - x}$

Étape 5.2.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (1)$ .

$\frac{4 (- (x + 1))}{(x + 1) (x - 6)} + \frac{x}{6 - x}$

Étape 5.2.4

Réécrivez $- (x + 1)$ comme $- 1 (x + 1)$ .

$\frac{4 (- 1 (x + 1))}{(x + 1) (x - 6)} + \frac{x}{6 - x}$

Étape 5.2.5

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 (- 1 (x + 1))}{(x + 1) (x - 6)} + \frac{x}{6 - x}$

Étape 5.2.6

Réécrivez l’expression.

$\frac{4 \cdot (- 1)}{x - 6} + \frac{x}{6 - x}$

Étape 5.3

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\frac{- 4}{x - 6} + \frac{x}{6 - x}$

Étape 5.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{4}{x - 6} + \frac{x}{6 - x}$

Étape 6

Simplifiez les termes.

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Étape 6.1

Réécrivez $6$ comme $- 1 (- 6)$ .

$- \frac{4}{x - 6} + \frac{x}{- 1 (- 6) - x}$

Étape 6.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$- \frac{4}{x - 6} + \frac{x}{- 1 (- 6) - (x)}$

Étape 6.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (- 6) - (x)$ .

$- \frac{4}{x - 6} + \frac{x}{- 1 (- 6 + x)}$

Étape 6.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.4.1

Faites passer un signe négatif du dénominateur de $\frac{x}{- 1 (- 6 + x)}$ au numérateur.

$- \frac{4}{x - 6} + \frac{- x}{- 6 + x}$

Étape 6.4.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$- \frac{4}{x - 6} + \frac{- x}{x - 6}$

Étape 6.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 4 - x}{x - 6}$

Étape 6.6

Réécrivez $- 4$ comme $- 1 (4)$ .

$\frac{- 1 (4) - x}{x - 6}$

Étape 6.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{- 1 (4) - (x)}{x - 6}$

Étape 6.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (4) - (x)$ .

$\frac{- 1 (4 + x)}{x - 6}$

Étape 6.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{4 + x}{x - 6}$