Algèbre Exemples

$f (x) = 4 + \frac{5}{e^{x - 3}}$

Étape 1

Écrivez $f (x) = 4 + \frac{5}{e^{x - 3}}$ comme une équation.

$y = 4 + \frac{5}{e^{x - 3}}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = 4 + \frac{5}{e^{y - 3}}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $4 + \frac{5}{e^{y - 3}} = x$ .

$4 + \frac{5}{e^{y - 3}} = x$

Étape 3.2

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{5}{e^{y - 3}} = x - 4$

Étape 3.3

Multipliez les deux côtés par $e^{y - 3}$ .

$\frac{5}{e^{y - 3}} e^{y - 3} = (x - 4) e^{y - 3}$

Étape 3.4

Simplifiez

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Étape 3.4.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.1.1

Annulez le facteur commun de $e^{y - 3}$ .

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Étape 3.4.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5}{e^{y - 3}} e^{y - 3} = (x - 4) e^{y - 3}$

Étape 3.4.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$5 = (x - 4) e^{y - 3}$

Étape 3.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$5 = x e^{y - 3} - 4 e^{y - 3}$

Étape 3.5

Résolvez $y$ .

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Étape 3.5.1

Réécrivez l’équation comme $x e^{y - 3} - 4 e^{y - 3} = 5$ .

$x e^{y - 3} - 4 e^{y - 3} = 5$

Étape 3.5.2

Factorisez $e^{y - 3}$ à partir de $x e^{y - 3} - 4 e^{y - 3}$ .

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Étape 3.5.2.1

Factorisez $e^{y - 3}$ à partir de $x e^{y - 3}$ .

$e^{y - 3} x - 4 e^{y - 3} = 5$

Étape 3.5.2.2

Factorisez $e^{y - 3}$ à partir de $- 4 e^{y - 3}$ .

$e^{y - 3} x + e^{y - 3} \cdot - 4 = 5$

Étape 3.5.2.3

Factorisez $e^{y - 3}$ à partir de $e^{y - 3} x + e^{y - 3} \cdot - 4$ .

$e^{y - 3} (x - 4) = 5$

Étape 3.5.3

Divisez chaque terme dans $e^{y - 3} (x - 4) = 5$ par $x - 4$ et simplifiez.

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Étape 3.5.3.1

Divisez chaque terme dans $e^{y - 3} (x - 4) = 5$ par $x - 4$ .

$\frac{e^{y - 3} (x - 4)}{x - 4} = \frac{5}{x - 4}$

Étape 3.5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $x - 4$ .

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Étape 3.5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{y - 3} (x - 4)}{x - 4} = \frac{5}{x - 4}$

Étape 3.5.3.2.1.2

Divisez $e^{y - 3}$ par $1$ .

$e^{y - 3} = \frac{5}{x - 4}$

Étape 3.5.4

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{y - 3}) = \ln (\frac{5}{x - 4})$

Étape 3.5.5

Développez le côté gauche.

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Étape 3.5.5.1

Développez $\ln (e^{y - 3})$ en déplaçant $y - 3$ hors du logarithme.

$(y - 3) \ln (e) = \ln (\frac{5}{x - 4})$

Étape 3.5.5.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$(y - 3) \cdot 1 = \ln (\frac{5}{x - 4})$

Étape 3.5.5.3

Multipliez $y - 3$ par $1$ .

$y - 3 = \ln (\frac{5}{x - 4})$

Étape 3.5.6

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$y = \ln (\frac{5}{x - 4}) + 3$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = \ln (\frac{5}{x - 4}) + 3$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \ln (\frac{5}{x - 4}) + 3$ est l’inverse de $f (x) = 4 + \frac{5}{e^{x - 3}}$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (4 + \frac{5}{e^{x - 3}})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (4 + \frac{5}{e^{x - 3}}) = \ln (\frac{5}{(4 + \frac{5}{e^{x - 3}}) - 4}) + 3$

Étape 5.2.3

Associez les termes opposés dans $\ln (\frac{5}{(4 + \frac{5}{e^{x - 3}}) - 4}) + 3$ .

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Étape 5.2.3.1

Soustrayez $4$ de $4$ .

$f^{- 1} (4 + \frac{5}{e^{x - 3}}) = \ln (\frac{5}{0 + \frac{5}{e^{x - 3}}}) + 3$

Étape 5.2.3.2

Additionnez $0$ et $\frac{5}{e^{x - 3}}$ .

$f^{- 1} (4 + \frac{5}{e^{x - 3}}) = \ln (\frac{5}{\frac{5}{e^{x - 3}}}) + 3$

Étape 5.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.4.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f^{- 1} (4 + \frac{5}{e^{x - 3}}) = \ln (5 (\frac{e^{x - 3}}{5})) + 3$

Étape 5.2.4.2

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 5.2.4.2.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (4 + \frac{5}{e^{x - 3}}) = \ln (5 (\frac{e^{x - 3}}{5})) + 3$

Étape 5.2.4.2.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (4 + \frac{5}{e^{x - 3}}) = \ln (e^{x - 3}) + 3$

Étape 5.2.4.3

Utilisez les règles des logarithmes pour retirer $x - 3$ de l’exposant.

$f^{- 1} (4 + \frac{5}{e^{x - 3}}) = (x - 3) \ln (e) + 3$

Étape 5.2.4.4

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$f^{- 1} (4 + \frac{5}{e^{x - 3}}) = (x - 3) \cdot 1 + 3$

Étape 5.2.4.5

Multipliez $x - 3$ par $1$ .

$f^{- 1} (4 + \frac{5}{e^{x - 3}}) = x - 3 + 3$

Étape 5.2.5

Associez les termes opposés dans $x - 3 + 3$ .

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Étape 5.2.5.1

Additionnez $- 3$ et $3$ .

$f^{- 1} (4 + \frac{5}{e^{x - 3}}) = x + 0$

Étape 5.2.5.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f^{- 1} (4 + \frac{5}{e^{x - 3}}) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (\ln (\frac{5}{x - 4}) + 3)$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\ln (\frac{5}{x - 4}) + 3) = 4 + \frac{5}{e^{(\ln (\frac{5}{x - 4}) + 3) - 3}}$

Étape 5.3.3

Associez les termes opposés dans $4 + \frac{5}{e^{(\ln (\frac{5}{x - 4}) + 3) - 3}}$ .

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Étape 5.3.3.1

Soustrayez $3$ de $3$ .

$f (\ln (\frac{5}{x - 4}) + 3) = 4 + \frac{5}{e^{\ln (\frac{5}{x - 4}) + 0}}$

Étape 5.3.3.2

Additionnez $\ln (\frac{5}{x - 4})$ et $0$ .

$f (\ln (\frac{5}{x - 4}) + 3) = 4 + \frac{5}{e^{\ln (\frac{5}{x - 4})}}$

Étape 5.3.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.4.1

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$f (\ln (\frac{5}{x - 4}) + 3) = 4 + \frac{5}{\frac{5}{x - 4}}$

Étape 5.3.4.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f (\ln (\frac{5}{x - 4}) + 3) = 4 + 5 (\frac{x - 4}{5})$

Étape 5.3.4.3

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 5.3.4.3.1

Annulez le facteur commun.

$f (\ln (\frac{5}{x - 4}) + 3) = 4 + 5 (\frac{x - 4}{5})$

Étape 5.3.4.3.2

Réécrivez l’expression.

$f (\ln (\frac{5}{x - 4}) + 3) = 4 + x - 4$

Étape 5.3.5

Associez les termes opposés dans $4 + x - 4$ .

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Étape 5.3.5.1

Soustrayez $4$ de $4$ .

$f (\ln (\frac{5}{x - 4}) + 3) = x + 0$

Étape 5.3.5.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f (\ln (\frac{5}{x - 4}) + 3) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \ln (\frac{5}{x - 4}) + 3$ est l’inverse de $f (x) = 4 + \frac{5}{e^{x - 3}}$ .

$f^{- 1} (x) = \ln (\frac{5}{x - 4}) + 3$