Algèbre Exemples

${(\frac{5}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} i)}^{2}$

Étape 1

Simplifiez les termes.

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Étape 1.1

Associez $i$ et $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

${(\frac{5}{4} - \frac{i \sqrt{2}}{2})}^{2}$

Étape 1.2

Réécrivez ${(\frac{5}{4} - \frac{i \sqrt{2}}{2})}^{2}$ comme $(\frac{5}{4} - \frac{i \sqrt{2}}{2}) (\frac{5}{4} - \frac{i \sqrt{2}}{2})$ .

$(\frac{5}{4} - \frac{i \sqrt{2}}{2}) (\frac{5}{4} - \frac{i \sqrt{2}}{2})$

Étape 2

Développez $(\frac{5}{4} - \frac{i \sqrt{2}}{2}) (\frac{5}{4} - \frac{i \sqrt{2}}{2})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5}{4} (\frac{5}{4} - \frac{i \sqrt{2}}{2}) - \frac{i \sqrt{2}}{2} (\frac{5}{4} - \frac{i \sqrt{2}}{2})$

Étape 2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5}{4} \cdot \frac{5}{4} + \frac{5}{4} (- \frac{i \sqrt{2}}{2}) - \frac{i \sqrt{2}}{2} (\frac{5}{4} - \frac{i \sqrt{2}}{2})$

Étape 2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5}{4} \cdot \frac{5}{4} + \frac{5}{4} (- \frac{i \sqrt{2}}{2}) - \frac{i \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{5}{4} - \frac{i \sqrt{2}}{2} (- \frac{i \sqrt{2}}{2})$

Étape 3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1

Multipliez $\frac{5}{4} \cdot \frac{5}{4}$ .

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Étape 3.1.1.1

Multipliez $\frac{5}{4}$ par $\frac{5}{4}$ .

$\frac{5 \cdot 5}{4 \cdot 4} + \frac{5}{4} (- \frac{i \sqrt{2}}{2}) - \frac{i \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{5}{4} - \frac{i \sqrt{2}}{2} (- \frac{i \sqrt{2}}{2})$

Étape 3.1.1.2

Multipliez $5$ par $5$ .

$\frac{25}{4 \cdot 4} + \frac{5}{4} (- \frac{i \sqrt{2}}{2}) - \frac{i \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{5}{4} - \frac{i \sqrt{2}}{2} (- \frac{i \sqrt{2}}{2})$

Étape 3.1.1.3

Multipliez $4$ par $4$ .

$\frac{25}{16} + \frac{5}{4} (- \frac{i \sqrt{2}}{2}) - \frac{i \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{5}{4} - \frac{i \sqrt{2}}{2} (- \frac{i \sqrt{2}}{2})$

Étape 3.1.2

Multipliez $\frac{5}{4} (- \frac{i \sqrt{2}}{2})$ .

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Étape 3.1.2.1

Multipliez $\frac{5}{4}$ par $\frac{i \sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{25}{16} - \frac{5 (i \sqrt{2})}{4 \cdot 2} - \frac{i \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{5}{4} - \frac{i \sqrt{2}}{2} (- \frac{i \sqrt{2}}{2})$

Étape 3.1.2.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$\frac{25}{16} - \frac{5 (i \sqrt{2})}{8} - \frac{i \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{5}{4} - \frac{i \sqrt{2}}{2} (- \frac{i \sqrt{2}}{2})$

Étape 3.1.3

Multipliez $- \frac{i \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{5}{4}$ .

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Étape 3.1.3.1

Multipliez $\frac{5}{4}$ par $\frac{i \sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{25}{16} - \frac{5 i \sqrt{2}}{8} - \frac{5 (i \sqrt{2})}{4 \cdot 2} - \frac{i \sqrt{2}}{2} (- \frac{i \sqrt{2}}{2})$

Étape 3.1.3.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$\frac{25}{16} - \frac{5 i \sqrt{2}}{8} - \frac{5 (i \sqrt{2})}{8} - \frac{i \sqrt{2}}{2} (- \frac{i \sqrt{2}}{2})$

Étape 3.1.4

Multipliez $- \frac{i \sqrt{2}}{2} (- \frac{i \sqrt{2}}{2})$ .

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Étape 3.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{25}{16} - \frac{5 i \sqrt{2}}{8} - \frac{5 i \sqrt{2}}{8} + 1 \frac{i \sqrt{2}}{2} \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Étape 3.1.4.2

Multipliez $\frac{i \sqrt{2}}{2}$ par $1$ .

$\frac{25}{16} - \frac{5 i \sqrt{2}}{8} - \frac{5 i \sqrt{2}}{8} + \frac{i \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Étape 3.1.4.3

Multipliez $\frac{i \sqrt{2}}{2}$ par $\frac{i \sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{25}{16} - \frac{5 i \sqrt{2}}{8} - \frac{5 i \sqrt{2}}{8} + \frac{i \sqrt{2} (i \sqrt{2})}{2 \cdot 2}$

Étape 3.1.4.4

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{25}{16} - \frac{5 i \sqrt{2}}{8} - \frac{5 i \sqrt{2}}{8} + \frac{i^{1} i \sqrt{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.1.4.5

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{25}{16} - \frac{5 i \sqrt{2}}{8} - \frac{5 i \sqrt{2}}{8} + \frac{i^{1} i^{1} \sqrt{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.1.4.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{25}{16} - \frac{5 i \sqrt{2}}{8} - \frac{5 i \sqrt{2}}{8} + \frac{i^{1 + 1} \sqrt{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.1.4.7

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{25}{16} - \frac{5 i \sqrt{2}}{8} - \frac{5 i \sqrt{2}}{8} + \frac{i^{2} \sqrt{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.1.4.8

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{25}{16} - \frac{5 i \sqrt{2}}{8} - \frac{5 i \sqrt{2}}{8} + \frac{i^{2} ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}{2 \cdot 2}$

Étape 3.1.4.9

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{25}{16} - \frac{5 i \sqrt{2}}{8} - \frac{5 i \sqrt{2}}{8} + \frac{i^{2} ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}{2 \cdot 2}$

Étape 3.1.4.10

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{25}{16} - \frac{5 i \sqrt{2}}{8} - \frac{5 i \sqrt{2}}{8} + \frac{i^{2} {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.1.4.11

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{25}{16} - \frac{5 i \sqrt{2}}{8} - \frac{5 i \sqrt{2}}{8} + \frac{i^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.1.4.12

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{25}{16} - \frac{5 i \sqrt{2}}{8} - \frac{5 i \sqrt{2}}{8} + \frac{i^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{4}$

Étape 3.1.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1.5.1

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{25}{16} - \frac{5 i \sqrt{2}}{8} - \frac{5 i \sqrt{2}}{8} + \frac{- {\sqrt{2}}^{2}}{4}$

Étape 3.1.5.2

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 3.1.5.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{25}{16} - \frac{5 i \sqrt{2}}{8} - \frac{5 i \sqrt{2}}{8} + \frac{- {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4}$

Étape 3.1.5.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{25}{16} - \frac{5 i \sqrt{2}}{8} - \frac{5 i \sqrt{2}}{8} + \frac{- 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4}$

Étape 3.1.5.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{25}{16} - \frac{5 i \sqrt{2}}{8} - \frac{5 i \sqrt{2}}{8} + \frac{- 2^{\frac{2}{2}}}{4}$

Étape 3.1.5.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.1.5.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{25}{16} - \frac{5 i \sqrt{2}}{8} - \frac{5 i \sqrt{2}}{8} + \frac{- 2^{\frac{2}{2}}}{4}$

Étape 3.1.5.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{25}{16} - \frac{5 i \sqrt{2}}{8} - \frac{5 i \sqrt{2}}{8} + \frac{- 2^{1}}{4}$

Étape 3.1.5.2.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{25}{16} - \frac{5 i \sqrt{2}}{8} - \frac{5 i \sqrt{2}}{8} + \frac{- 1 \cdot 2}{4}$

Étape 3.1.6

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{25}{16} - \frac{5 i \sqrt{2}}{8} - \frac{5 i \sqrt{2}}{8} + \frac{- 2}{4}$

Étape 3.1.7

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $4$ .

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Étape 3.1.7.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{25}{16} - \frac{5 i \sqrt{2}}{8} - \frac{5 i \sqrt{2}}{8} + \frac{2 (- 1)}{4}$

Étape 3.1.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.1.7.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{25}{16} - \frac{5 i \sqrt{2}}{8} - \frac{5 i \sqrt{2}}{8} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2}$

Étape 3.1.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{25}{16} - \frac{5 i \sqrt{2}}{8} - \frac{5 i \sqrt{2}}{8} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2}$

Étape 3.1.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{25}{16} - \frac{5 i \sqrt{2}}{8} - \frac{5 i \sqrt{2}}{8} + \frac{- 1}{2}$

Étape 3.1.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{25}{16} - \frac{5 i \sqrt{2}}{8} - \frac{5 i \sqrt{2}}{8} - \frac{1}{2}$

Étape 3.2

Pour écrire $- \frac{1}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{8}{8}$ .

$\frac{25}{16} - \frac{1}{2} \cdot \frac{8}{8} - \frac{5 i \sqrt{2}}{8} - \frac{5 i \sqrt{2}}{8}$

Étape 3.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $16$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.3.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{8}{8}$ .

$\frac{25}{16} - \frac{8}{2 \cdot 8} - \frac{5 i \sqrt{2}}{8} - \frac{5 i \sqrt{2}}{8}$

Étape 3.3.2

Multipliez $2$ par $8$ .

$\frac{25}{16} - \frac{8}{16} - \frac{5 i \sqrt{2}}{8} - \frac{5 i \sqrt{2}}{8}$

Étape 3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{25 - 8}{16} - \frac{5 i \sqrt{2}}{8} - \frac{5 i \sqrt{2}}{8}$

Étape 3.5

Soustrayez $8$ de $25$ .

$\frac{17}{16} - \frac{5 i \sqrt{2}}{8} - \frac{5 i \sqrt{2}}{8}$

Étape 3.6

Soustrayez $\frac{5 i \sqrt{2}}{8}$ de $- \frac{5 i \sqrt{2}}{8}$ .

$\frac{17}{16} - 2 \frac{5 i \sqrt{2}}{8}$

Étape 4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{17}{16} + 2 (- 1) \frac{5 i \sqrt{2}}{8}$

Étape 4.1.2

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$\frac{17}{16} + 2 \cdot - 1 \frac{5 i \sqrt{2}}{2 \cdot 4}$

Étape 4.1.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{17}{16} + 2 \cdot - 1 \frac{5 i \sqrt{2}}{2 \cdot 4}$

Étape 4.1.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{17}{16} - 1 \frac{5 i \sqrt{2}}{4}$

Étape 4.2

Réécrivez $- 1 \frac{5 i \sqrt{2}}{4}$ comme $- \frac{5 i \sqrt{2}}{4}$ .

$\frac{17}{16} - \frac{5 i \sqrt{2}}{4}$