Algèbre Exemples

$\frac{1}{x} - \frac{2}{x + 1} - \frac{x}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 1

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 1.1

Multipliez $\frac{1}{x}$ par $\frac{{(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$ .

$\frac{1}{x} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{2}{x + 1} - \frac{x}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 1.2

Multipliez $\frac{1}{x}$ par $\frac{{(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{x {(x + 1)}^{2}} - \frac{2}{x + 1} - \frac{x}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 1.3

Multipliez $\frac{2}{x + 1}$ par $\frac{x (x + 1)}{x (x + 1)}$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{x {(x + 1)}^{2}} - (\frac{2}{x + 1} \cdot \frac{x (x + 1)}{x (x + 1)}) - \frac{x}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 1.4

Multipliez $\frac{2}{x + 1}$ par $\frac{x (x + 1)}{x (x + 1)}$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{x {(x + 1)}^{2}} - \frac{2 (x (x + 1))}{(x + 1) (x (x + 1))} - \frac{x}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 1.5

Multipliez $\frac{x}{{(x + 1)}^{2}}$ par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{x {(x + 1)}^{2}} - \frac{2 (x (x + 1))}{(x + 1) (x (x + 1))} - (\frac{x}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{x}{x})$

Étape 1.6

Multipliez $\frac{x}{{(x + 1)}^{2}}$ par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{x {(x + 1)}^{2}} - \frac{2 (x (x + 1))}{(x + 1) (x (x + 1))} - \frac{x \cdot x}{{(x + 1)}^{2} x}$

Étape 1.7

Réorganisez les facteurs de $(x + 1) (x (x + 1))$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{x {(x + 1)}^{2}} - \frac{2 (x (x + 1))}{x (x + 1) (x + 1)} - \frac{x \cdot x}{{(x + 1)}^{2} x}$

Étape 1.8

Élevez $x + 1$ à la puissance $1$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{x {(x + 1)}^{2}} - \frac{2 (x (x + 1))}{x ({(x + 1)}^{1} (x + 1))} - \frac{x \cdot x}{{(x + 1)}^{2} x}$

Étape 1.9

Élevez $x + 1$ à la puissance $1$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{x {(x + 1)}^{2}} - \frac{2 (x (x + 1))}{x ({(x + 1)}^{1} {(x + 1)}^{1})} - \frac{x \cdot x}{{(x + 1)}^{2} x}$

Étape 1.10

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{x {(x + 1)}^{2}} - \frac{2 (x (x + 1))}{x {(x + 1)}^{1 + 1}} - \frac{x \cdot x}{{(x + 1)}^{2} x}$

Étape 1.11

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{x {(x + 1)}^{2}} - \frac{2 (x (x + 1))}{x {(x + 1)}^{2}} - \frac{x \cdot x}{{(x + 1)}^{2} x}$

Étape 1.12

Réorganisez les facteurs de ${(x + 1)}^{2} x$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{x {(x + 1)}^{2}} - \frac{2 (x (x + 1))}{x {(x + 1)}^{2}} - \frac{x \cdot x}{x {(x + 1)}^{2}}$

Étape 2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{{(x + 1)}^{2} - 2 (x (x + 1)) - x \cdot x}{x {(x + 1)}^{2}}$

Étape 3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1

Réécrivez ${(x + 1)}^{2}$ comme $(x + 1) (x + 1)$ .

$\frac{(x + 1) (x + 1) - 2 (x (x + 1)) - x \cdot x}{x {(x + 1)}^{2}}$

Étape 3.2

Développez $(x + 1) (x + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (x + 1) + 1 (x + 1) - 2 (x (x + 1)) - x \cdot x}{x {(x + 1)}^{2}}$

Étape 3.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1) - 2 (x (x + 1)) - x \cdot x}{x {(x + 1)}^{2}}$

Étape 3.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1 - 2 (x (x + 1)) - x \cdot x}{x {(x + 1)}^{2}}$

Étape 3.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1 - 2 (x (x + 1)) - x \cdot x}{x {(x + 1)}^{2}}$

Étape 3.3.1.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1 - 2 (x (x + 1)) - x \cdot x}{x {(x + 1)}^{2}}$

Étape 3.3.1.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{x^{2} + x + x + 1 \cdot 1 - 2 (x (x + 1)) - x \cdot x}{x {(x + 1)}^{2}}$

Étape 3.3.1.4

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{x^{2} + x + x + 1 - 2 (x (x + 1)) - x \cdot x}{x {(x + 1)}^{2}}$

Étape 3.3.2

Additionnez $x$ et $x$ .

$\frac{x^{2} + 2 x + 1 - 2 (x (x + 1)) - x \cdot x}{x {(x + 1)}^{2}}$

Étape 3.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} + 2 x + 1 - 2 (x \cdot x + x \cdot 1) - x \cdot x}{x {(x + 1)}^{2}}$

Étape 3.5

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x^{2} + 2 x + 1 - 2 (x^{2} + x \cdot 1) - x \cdot x}{x {(x + 1)}^{2}}$

Étape 3.6

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{x^{2} + 2 x + 1 - 2 (x^{2} + x) - x \cdot x}{x {(x + 1)}^{2}}$

Étape 3.7

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} + 2 x + 1 - 2 x^{2} - 2 x - x \cdot x}{x {(x + 1)}^{2}}$

Étape 3.8

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.8.1

Déplacez $x$ .

$\frac{x^{2} + 2 x + 1 - 2 x^{2} - 2 x - (x \cdot x)}{x {(x + 1)}^{2}}$

Étape 3.8.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x^{2} + 2 x + 1 - 2 x^{2} - 2 x - x^{2}}{x {(x + 1)}^{2}}$

Étape 4

Associez les termes opposés dans $x^{2} + 2 x + 1 - 2 x^{2} - 2 x - x^{2}$ .

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Étape 4.1

Soustrayez $2 x$ de $2 x$ .

$\frac{x^{2} + 1 - 2 x^{2} + 0 - x^{2}}{x {(x + 1)}^{2}}$

Étape 4.2

Additionnez $x^{2} + 1 - 2 x^{2}$ et $0$ .

$\frac{x^{2} + 1 - 2 x^{2} - x^{2}}{x {(x + 1)}^{2}}$

Étape 4.3

Soustrayez $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{1 - 2 x^{2} + 0}{x {(x + 1)}^{2}}$

Étape 4.4

Additionnez $1 - 2 x^{2}$ et $0$ .

$\frac{1 - 2 x^{2}}{x {(x + 1)}^{2}}$