Algèbre Exemples

$\log (1 - x) = \frac{1}{5} \log (\frac{4500}{9000})$

Étape 1

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1

Associez $\frac{1}{5}$ et $\log (\frac{4500}{9000})$ .

$\log (1 - x) = \frac{\log (\frac{4500}{9000})}{5}$

Étape 2

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$\log (1 - x) - \frac{\log (\frac{4500}{9000})}{5} = 0$

Étape 3

Annulez le facteur commun à $4500$ et $9000$ .

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Étape 3.1

Factorisez $4500$ à partir de $4500$ .

$\log (1 - x) - \frac{\log (\frac{4500 (1)}{9000})}{5} = 0$

Étape 3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.2.1

Factorisez $4500$ à partir de $9000$ .

$\log (1 - x) - \frac{\log (\frac{4500 \cdot 1}{4500 \cdot 2})}{5} = 0$

Étape 3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\log (1 - x) - \frac{\log (\frac{4500 \cdot 1}{4500 \cdot 2})}{5} = 0$

Étape 3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\log (1 - x) - \frac{\log (\frac{1}{2})}{5} = 0$

Étape 4

Pour écrire $\log (1 - x)$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$\log (1 - x) \cdot \frac{5}{5} - \frac{\log (\frac{1}{2})}{5} = 0$

Étape 5

Simplifiez les termes.

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Étape 5.1

Associez $\log (1 - x)$ et $\frac{5}{5}$ .

$\frac{\log (1 - x) \cdot 5}{5} - \frac{\log (\frac{1}{2})}{5} = 0$

Étape 5.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\log (1 - x) \cdot 5 - \log (\frac{1}{2})}{5} = 0$

Étape 6

Déplacez $5$ à gauche de $\log (1 - x)$ .

$\frac{5 \log (1 - x) - \log (\frac{1}{2})}{5} = 0$

Étape 7

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.1

Simplifiez $\frac{5 \log (1 - x) - \log (\frac{1}{2})}{5}$ .

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Étape 7.1.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1.1.1

Simplifiez $5 \log (1 - x)$ en déplaçant $5$ dans le logarithme.

$\frac{\log ({(1 - x)}^{5}) - \log (\frac{1}{2})}{5} = 0$

Étape 7.1.1.2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\log (\frac{{(1 - x)}^{5}}{\frac{1}{2}})}{5} = 0$

Étape 7.1.1.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{\log ({(1 - x)}^{5} \cdot 2)}{5} = 0$

Étape 7.1.1.4

Déplacez $2$ à gauche de ${(1 - x)}^{5}$ .

$\frac{\log (2 {(1 - x)}^{5})}{5} = 0$

Étape 7.1.2

Réécrivez $\frac{\log (2 {(1 - x)}^{5})}{5}$ comme $\frac{1}{5} \log (2 {(1 - x)}^{5})$ .

$\frac{1}{5} \log (2 {(1 - x)}^{5}) = 0$

Étape 7.1.3

Simplifiez $\frac{1}{5} \log (2 {(1 - x)}^{5})$ en déplaçant $\frac{1}{5}$ dans le logarithme.

$\log ({(2 {(1 - x)}^{5})}^{\frac{1}{5}}) = 0$

Étape 7.1.4

Appliquez la règle de produit à $2 {(1 - x)}^{5}$ .

$\log (2^{\frac{1}{5}} {({(1 - x)}^{5})}^{\frac{1}{5}}) = 0$

Étape 7.1.5

Multipliez les exposants dans ${({(1 - x)}^{5})}^{\frac{1}{5}}$ .

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Étape 7.1.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log (2^{\frac{1}{5}} {(1 - x)}^{5 (\frac{1}{5})}) = 0$

Étape 7.1.5.2

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 7.1.5.2.1

Annulez le facteur commun.

$\log (2^{\frac{1}{5}} {(1 - x)}^{5 (\frac{1}{5})}) = 0$

Étape 7.1.5.2.2

Réécrivez l’expression.

$\log (2^{\frac{1}{5}} {(1 - x)}^{1}) = 0$

Étape 7.1.6

Simplifiez

$\log (2^{\frac{1}{5}} (1 - x)) = 0$

Étape 7.1.7

Appliquez la propriété distributive.

$\log (2^{\frac{1}{5}} \cdot 1 + 2^{\frac{1}{5}} (- x)) = 0$

Étape 7.1.8

Simplifiez l’expression.

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Étape 7.1.8.1

Multipliez $2^{\frac{1}{5}}$ par $1$ .

$\log (2^{\frac{1}{5}} + 2^{\frac{1}{5}} (- x)) = 0$

Étape 7.1.8.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\log (2^{\frac{1}{5}} + 2^{\frac{1}{5}} (- x))$ .

$\log (2^{\frac{1}{5}} - x \cdot 2^{\frac{1}{5}}) = 0$

Étape 8

Réécrivez $\log (2^{\frac{1}{5}} - x \cdot 2^{\frac{1}{5}}) = 0$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$10^{0} = 2^{\frac{1}{5}} - x \cdot 2^{\frac{1}{5}}$

Étape 9

Résolvez $x$ .

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Étape 9.1

Réécrivez l’équation comme $2^{\frac{1}{5}} - x \cdot 2^{\frac{1}{5}} = 10^{0}$ .

$2^{\frac{1}{5}} - x \cdot 2^{\frac{1}{5}} = 10^{0}$

Étape 9.2

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$2^{\frac{1}{5}} - x \cdot 2^{\frac{1}{5}} = 1$

Étape 9.3

Soustrayez $2^{\frac{1}{5}}$ des deux côtés de l’équation.

$- x \cdot 2^{\frac{1}{5}} = 1 - 2^{\frac{1}{5}}$

Étape 9.4

Divisez chaque terme dans $- x \cdot 2^{\frac{1}{5}} = 1 - 2^{\frac{1}{5}}$ par $- 2^{\frac{1}{5}}$ et simplifiez.

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Étape 9.4.1

Divisez chaque terme dans $- x \cdot 2^{\frac{1}{5}} = 1 - 2^{\frac{1}{5}}$ par $- 2^{\frac{1}{5}}$ .

$\frac{- x \cdot 2^{\frac{1}{5}}}{- 2^{\frac{1}{5}}} = \frac{1}{- 2^{\frac{1}{5}}} + \frac{- 2^{\frac{1}{5}}}{- 2^{\frac{1}{5}}}$

Étape 9.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 9.4.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x \cdot 2^{\frac{1}{5}}}{2^{\frac{1}{5}}} = \frac{1}{- 2^{\frac{1}{5}}} + \frac{- 2^{\frac{1}{5}}}{- 2^{\frac{1}{5}}}$

Étape 9.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \cdot 2^{\frac{1}{5}}}{2^{\frac{1}{5}}} = \frac{1}{- 2^{\frac{1}{5}}} + \frac{- 2^{\frac{1}{5}}}{- 2^{\frac{1}{5}}}$

Étape 9.4.2.3

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{1}{- 2^{\frac{1}{5}}} + \frac{- 2^{\frac{1}{5}}}{- 2^{\frac{1}{5}}}$

Étape 9.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 9.4.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.4.3.1.1

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$x = \frac{- 1 (- 1)}{- 2^{\frac{1}{5}}} + \frac{- 2^{\frac{1}{5}}}{- 2^{\frac{1}{5}}}$

Étape 9.4.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{1}{2^{\frac{1}{5}}} + \frac{- 2^{\frac{1}{5}}}{- 2^{\frac{1}{5}}}$

Étape 9.4.3.1.3

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$x = - \frac{1}{2^{\frac{1}{5}}} + \frac{2^{\frac{1}{5}}}{2^{\frac{1}{5}}}$

Étape 9.4.3.1.4

Annulez le facteur commun.

$x = - \frac{1}{2^{\frac{1}{5}}} + \frac{2^{\frac{1}{5}}}{2^{\frac{1}{5}}}$

Étape 9.4.3.1.5

Réécrivez l’expression.

$x = - \frac{1}{2^{\frac{1}{5}}} + 1$

Étape 10

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = - \frac{1}{2^{\frac{1}{5}}} + 1$

Forme décimale :

$x = 0.12944943 \dots$