Algèbre Exemples

$\sqrt{9 y^{2} + 15 y + 18} = \sqrt{5 y^{2} - 5 y - 7}$

Étape 1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{9 y^{2} + 15 y + 18}}^{2} = {\sqrt{5 y^{2} - 5 y - 7}}^{2}$

Étape 2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{9 y^{2} + 15 y + 18}$ comme ${(9 y^{2} + 15 y + 18)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(9 y^{2} + 15 y + 18)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {\sqrt{5 y^{2} - 5 y - 7}}^{2}$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Simplifiez ${({(9 y^{2} + 15 y + 18)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(9 y^{2} + 15 y + 18)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(9 y^{2} + 15 y + 18)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\sqrt{5 y^{2} - 5 y - 7}}^{2}$

Étape 2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(9 y^{2} + 15 y + 18)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\sqrt{5 y^{2} - 5 y - 7}}^{2}$

Étape 2.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(9 y^{2} + 15 y + 18)}^{1} = {\sqrt{5 y^{2} - 5 y - 7}}^{2}$

Étape 2.2.1.2

Simplifiez

$9 y^{2} + 15 y + 18 = {\sqrt{5 y^{2} - 5 y - 7}}^{2}$

Étape 2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Réécrivez ${\sqrt{5 y^{2} - 5 y - 7}}^{2}$ comme $5 y^{2} - 5 y - 7$ .

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Étape 2.3.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5 y^{2} - 5 y - 7}$ comme ${(5 y^{2} - 5 y - 7)}^{\frac{1}{2}}$ .

$9 y^{2} + 15 y + 18 = {({(5 y^{2} - 5 y - 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Étape 2.3.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 y^{2} + 15 y + 18 = {(5 y^{2} - 5 y - 7)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Étape 2.3.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$9 y^{2} + 15 y + 18 = {(5 y^{2} - 5 y - 7)}^{\frac{2}{2}}$

Étape 2.3.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$9 y^{2} + 15 y + 18 = {(5 y^{2} - 5 y - 7)}^{\frac{2}{2}}$

Étape 2.3.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$9 y^{2} + 15 y + 18 = {(5 y^{2} - 5 y - 7)}^{1}$

Étape 2.3.1.5

Simplifiez

$9 y^{2} + 15 y + 18 = 5 y^{2} - 5 y - 7$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Déplacez tous les termes contenant $y$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 3.1.1

Soustrayez $5 y^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$9 y^{2} + 15 y + 18 - 5 y^{2} = - 5 y - 7$

Étape 3.1.2

Ajoutez $5 y$ aux deux côtés de l’équation.

$9 y^{2} + 15 y + 18 - 5 y^{2} + 5 y = - 7$

Étape 3.1.3

Soustrayez $5 y^{2}$ de $9 y^{2}$ .

$4 y^{2} + 15 y + 18 + 5 y = - 7$

Étape 3.1.4

Additionnez $15 y$ et $5 y$ .

$4 y^{2} + 20 y + 18 = - 7$

Étape 3.2

Ajoutez $7$ aux deux côtés de l’équation.

$4 y^{2} + 20 y + 18 + 7 = 0$

Étape 3.3

Additionnez $18$ et $7$ .

$4 y^{2} + 20 y + 25 = 0$

Étape 3.4

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 3.4.1

Réécrivez $4 y^{2}$ comme ${(2 y)}^{2}$ .

${(2 y)}^{2} + 20 y + 25 = 0$

Étape 3.4.2

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

${(2 y)}^{2} + 20 y + 5^{2} = 0$

Étape 3.4.3

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$20 y = 2 \cdot (2 y) \cdot 5$

Étape 3.4.4

Réécrivez le polynôme.

${(2 y)}^{2} + 2 \cdot (2 y) \cdot 5 + 5^{2} = 0$

Étape 3.4.5

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = 2 y$ et $b = 5$ .

${(2 y + 5)}^{2} = 0$

Étape 3.5

Définissez le $2 y + 5$ égal à $0$ .

$2 y + 5 = 0$

Étape 3.6

Résolvez $y$ .

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Étape 3.6.1

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$2 y = - 5$

Étape 3.6.2

Divisez chaque terme dans $2 y = - 5$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 3.6.2.1

Divisez chaque terme dans $2 y = - 5$ par $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{- 5}{2}$

Étape 3.6.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.6.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.6.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y}{2} = \frac{- 5}{2}$

Étape 3.6.2.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{- 5}{2}$

Étape 3.6.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.6.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{5}{2}$

Étape 4

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$y = - \frac{5}{2}$

Forme décimale :

$y = - 2.5$

Forme de nombre mixte :

$y = - 2 \frac{1}{2}$