Algèbre Exemples

$\frac{x^{2} + 3 x - 4}{x^{2} + 4 x + 4} \cdot \frac{2 x^{2} + 4 x}{x^{2} - 4 x + 3}$

Étape 1

Définissez le dénominateur dans $\frac{x^{2} + 3 x - 4}{x^{2} + 4 x + 4}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{2} + 4 x + 4 = 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 2.1.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x^{2} + 4 x + 2^{2} = 0$

Étape 2.1.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Étape 2.1.3

Réécrivez le polynôme.

$x^{2} + 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2} = 0$

Étape 2.1.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 2$ .

${(x + 2)}^{2} = 0$

Étape 2.2

Définissez le $x + 2$ égal à $0$ .

$x + 2 = 0$

Étape 2.3

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 3

Définissez le dénominateur dans $\frac{2 x^{2} + 4 x}{x^{2} - 4 x + 3}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{2} - 4 x + 3 = 0$

Étape 4

Résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Factorisez $x^{2} - 4 x + 3$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 4.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $3$ et dont la somme est $- 4$ .

$- 3, - 1$

Étape 4.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x - 3) (x - 1) = 0$

Étape 4.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 3 = 0$

$x - 1 = 0$

Étape 4.3

Définissez $x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.3.1

Définissez $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 4.3.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 4.4

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.4.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 4.4.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 4.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 3) (x - 1) = 0$ vraie.

$x = 3, 1$

Étape 5

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

$x = - 2, x = 1, x = 3$

Étape 6