Algèbre Exemples

$\frac{1}{x} + \frac{1}{x - 2} = \frac{1}{4}$

Étape 1

Déplacez tous les termes du côté gauche de l’équation et simplifiez.

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Étape 1.1

Soustrayez $\frac{1}{4}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{1}{x} + \frac{1}{x - 2} - \frac{1}{4} = 0$

Étape 1.2

Simplifiez $\frac{1}{x} + \frac{1}{x - 2} - \frac{1}{4}$ .

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Étape 1.2.1

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 1.2.1.1

Multipliez $\frac{1}{x}$ par $\frac{(x - 2) \cdot 4}{(x - 2) \cdot 4}$ .

$\frac{1}{x} \cdot \frac{(x - 2) \cdot 4}{(x - 2) \cdot 4} + \frac{1}{x - 2} - \frac{1}{4} = 0$

Étape 1.2.1.2

Multipliez $\frac{1}{x}$ par $\frac{(x - 2) \cdot 4}{(x - 2) \cdot 4}$ .

$\frac{(x - 2) \cdot 4}{x ((x - 2) \cdot 4)} + \frac{1}{x - 2} - \frac{1}{4} = 0$

Étape 1.2.1.3

Multipliez $\frac{1}{x - 2}$ par $\frac{x \cdot 4}{x \cdot 4}$ .

$\frac{(x - 2) \cdot 4}{x ((x - 2) \cdot 4)} + \frac{1}{x - 2} \cdot \frac{x \cdot 4}{x \cdot 4} - \frac{1}{4} = 0$

Étape 1.2.1.4

Multipliez $\frac{1}{x - 2}$ par $\frac{x \cdot 4}{x \cdot 4}$ .

$\frac{(x - 2) \cdot 4}{x ((x - 2) \cdot 4)} + \frac{x \cdot 4}{(x - 2) (x \cdot 4)} - \frac{1}{4} = 0$

Étape 1.2.1.5

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $\frac{x (x - 2)}{x (x - 2)}$ .

$\frac{(x - 2) \cdot 4}{x ((x - 2) \cdot 4)} + \frac{x \cdot 4}{(x - 2) (x \cdot 4)} - (\frac{1}{4} \cdot \frac{x (x - 2)}{x (x - 2)}) = 0$

Étape 1.2.1.6

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $\frac{x (x - 2)}{x (x - 2)}$ .

$\frac{(x - 2) \cdot 4}{x ((x - 2) \cdot 4)} + \frac{x \cdot 4}{(x - 2) (x \cdot 4)} - \frac{x (x - 2)}{4 (x (x - 2))} = 0$

Étape 1.2.1.7

Réorganisez les facteurs de $x ((x - 2) \cdot 4)$ .

$\frac{(x - 2) \cdot 4}{4 x (x - 2)} + \frac{x \cdot 4}{(x - 2) (x \cdot 4)} - \frac{x (x - 2)}{4 (x (x - 2))} = 0$

Étape 1.2.1.8

Réorganisez les facteurs de $(x - 2) (x \cdot 4)$ .

$\frac{(x - 2) \cdot 4}{4 x (x - 2)} + \frac{x \cdot 4}{4 x (x - 2)} - \frac{x (x - 2)}{4 (x (x - 2))} = 0$

Étape 1.2.1.9

Réorganisez les facteurs de $4 (x (x - 2))$ .

$\frac{(x - 2) \cdot 4}{4 x (x - 2)} + \frac{x \cdot 4}{4 x (x - 2)} - \frac{x (x - 2)}{4 x (x - 2)} = 0$

Étape 1.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(x - 2) \cdot 4 + x \cdot 4 - x (x - 2)}{4 x (x - 2)} = 0$

Étape 1.2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot 4 - 2 \cdot 4 + x \cdot 4 - x (x - 2)}{4 x (x - 2)} = 0$

Étape 1.2.3.2

Déplacez $4$ à gauche de $x$ .

$\frac{4 \cdot x - 2 \cdot 4 + x \cdot 4 - x (x - 2)}{4 x (x - 2)} = 0$

Étape 1.2.3.3

Multipliez $- 2$ par $4$ .

$\frac{4 \cdot x - 8 + x \cdot 4 - x (x - 2)}{4 x (x - 2)} = 0$

Étape 1.2.3.4

Déplacez $4$ à gauche de $x$ .

$\frac{4 x - 8 + 4 \cdot x - x (x - 2)}{4 x (x - 2)} = 0$

Étape 1.2.3.5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 x - 8 + 4 x - x \cdot x - x \cdot - 2}{4 x (x - 2)} = 0$

Étape 1.2.3.6

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.2.3.6.1

Déplacez $x$ .

$\frac{4 x - 8 + 4 x - (x \cdot x) - x \cdot - 2}{4 x (x - 2)} = 0$

Étape 1.2.3.6.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{4 x - 8 + 4 x - x^{2} - x \cdot - 2}{4 x (x - 2)} = 0$

Étape 1.2.3.7

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$\frac{4 x - 8 + 4 x - x^{2} + 2 x}{4 x (x - 2)} = 0$

Étape 1.2.4

Additionnez $4 x$ et $4 x$ .

$\frac{8 x - 8 - x^{2} + 2 x}{4 x (x - 2)} = 0$

Étape 1.2.5

Additionnez $8 x$ et $2 x$ .

$\frac{10 x - 8 - x^{2}}{4 x (x - 2)} = 0$

Étape 1.2.6

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- x^{2} + 10 x - 8}{4 x (x - 2)} = 0$

Étape 1.2.7

Divisez la fraction $\frac{- x^{2} + 10 x - 8}{4 x (x - 2)}$ en deux fractions.

$\frac{- x^{2} + 10 x}{4 x (x - 2)} + \frac{- 8}{4 x (x - 2)} = 0$

Étape 1.2.8

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.8.1

Factorisez $x$ à partir de $- x^{2} + 10 x$ .

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Étape 1.2.8.1.1

Factorisez $x$ à partir de $- x^{2}$ .

$\frac{x (- x) + 10 x}{4 x (x - 2)} + \frac{- 8}{4 x (x - 2)} = 0$

Étape 1.2.8.1.2

Factorisez $x$ à partir de $10 x$ .

$\frac{x (- x) + x \cdot 10}{4 x (x - 2)} + \frac{- 8}{4 x (x - 2)} = 0$

Étape 1.2.8.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x (- x) + x \cdot 10$ .

$\frac{x (- x + 10)}{4 x (x - 2)} + \frac{- 8}{4 x (x - 2)} = 0$

Étape 1.2.8.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 1.2.8.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (- x + 10)}{4 x (x - 2)} + \frac{- 8}{4 x (x - 2)} = 0$

Étape 1.2.8.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{- x + 10}{4 (x - 2)} + \frac{- 8}{4 x (x - 2)} = 0$

Étape 1.2.8.3

Divisez la fraction $\frac{- x + 10}{4 (x - 2)}$ en deux fractions.

$\frac{- x}{4 (x - 2)} + \frac{10}{4 (x - 2)} + \frac{- 8}{4 x (x - 2)} = 0$

Étape 1.2.8.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.8.4.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{x}{4 (x - 2)} + \frac{10}{4 (x - 2)} + \frac{- 8}{4 x (x - 2)} = 0$

Étape 1.2.8.4.2

Annulez le facteur commun à $10$ et $4$ .

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Étape 1.2.8.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $10$ .

$- \frac{x}{4 (x - 2)} + \frac{2 (5)}{4 (x - 2)} + \frac{- 8}{4 x (x - 2)} = 0$

Étape 1.2.8.4.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.8.4.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4 (x - 2)$ .

$- \frac{x}{4 (x - 2)} + \frac{2 (5)}{2 (2 (x - 2))} + \frac{- 8}{4 x (x - 2)} = 0$

Étape 1.2.8.4.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{x}{4 (x - 2)} + \frac{2 \cdot 5}{2 (2 (x - 2))} + \frac{- 8}{4 x (x - 2)} = 0$

Étape 1.2.8.4.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{x}{4 (x - 2)} + \frac{5}{2 (x - 2)} + \frac{- 8}{4 x (x - 2)} = 0$

Étape 1.2.8.5

Annulez le facteur commun à $- 8$ et $4$ .

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Étape 1.2.8.5.1

Factorisez $4$ à partir de $- 8$ .

$- \frac{x}{4 (x - 2)} + \frac{5}{2 (x - 2)} + \frac{4 \cdot - 2}{4 x (x - 2)} = 0$

Étape 1.2.8.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.8.5.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4 x (x - 2)$ .

$- \frac{x}{4 (x - 2)} + \frac{5}{2 (x - 2)} + \frac{4 \cdot - 2}{4 (x (x - 2))} = 0$

Étape 1.2.8.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{x}{4 (x - 2)} + \frac{5}{2 (x - 2)} + \frac{4 \cdot - 2}{4 (x (x - 2))} = 0$

Étape 1.2.8.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{x}{4 (x - 2)} + \frac{5}{2 (x - 2)} + \frac{- 2}{x (x - 2)} = 0$

Étape 1.2.8.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{x}{4 (x - 2)} + \frac{5}{2 (x - 2)} - \frac{2}{x (x - 2)} = 0$

Étape 2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$4 (x - 2), 2 (x - 2), x (x - 2), 1$

Étape 2.2

Comme $4 (x - 2), 2 (x - 2), x (x - 2), 1$ contiennent des nombres et des variables, quatre étapes sont nécessaires pour déterminer le plus petit multiple commun. Déterminez le plus petit multiple commun pour les parties numériques, variables et variables composées. Ensuite, multipliez toutes les valeurs entre elles.

Les étapes pour déterminer le plus petit multiple commun pour $4 (x - 2), 2 (x - 2), x (x - 2), 1$ sont :

1. Déterminez le plus petit multiple commun pour la partie numérique $4, 2, 1, 1$ .

2. Déterminez le plus petit multiple commun pour la partie variable $x^{1}$ .

3. Déterminez le plus petit multiple commun pour la partie variable composée $x - 2, x - 2, x - 2$ .

4. Multipliez tous les plus petits multiples communs entre eux.

Étape 2.3

Le plus petit multiple commun est le plus petit nombre positif dans lequel tous les nombres peuvent être divisés parfaitement.

1. Indiquez les facteurs premiers de chaque nombre.

2. Multipliez chaque facteur le plus grand nombre de fois qu’il apparaît dans un nombre.

Étape 2.4

$4$ a des facteurs de $2$ et $2$ .

$2 \cdot 2$

Étape 2.5

$2$ n’a pas de facteur hormis $1$ et $2$ .

$2$ est un nombre premier

Étape 2.6

Le nombre $1$ n’est pas un nombre premier car il ne comporte qu’un facteur positif, qui est lui-même.

Pas premier

Étape 2.7

Le plus petit multiple commun de $4, 2, 1, 1$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un nombre ou l’autre.

$2 \cdot 2$

Étape 2.8

Multipliez $2$ par $2$ .

$4$

Étape 2.9

Le facteur pour $x^{1}$ est $x$ lui-même.

$x^{1} = x$

$x$ se produit $1$ fois.

Étape 2.10

Le plus petit multiple commun de $x^{1}$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un terme ou l’autre.

$x$

Étape 2.11

Le facteur pour $x - 2$ est $x - 2$ lui-même.

$(x - 2) = x - 2$

$(x - 2)$ se produit $1$ fois.

Étape 2.12

Le plus petit multiple commun de $x - 2, x - 2, x - 2$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un terme ou l’autre.

$x - 2$

Étape 2.13

Le plus petit multiple commun $LCM$ de certains nombres est le plus petit nombre dont les nombres sont des facteurs.

$4 x (x - 2)$

Étape 3

Multiplier chaque terme dans $- \frac{x}{4 (x - 2)} + \frac{5}{2 (x - 2)} - \frac{2}{x (x - 2)} = 0$ par $4 x (x - 2)$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.1

Multipliez chaque terme dans $- \frac{x}{4 (x - 2)} + \frac{5}{2 (x - 2)} - \frac{2}{x (x - 2)} = 0$ par $4 x (x - 2)$ .

$- \frac{x}{4 (x - 2)} (4 x (x - 2)) + \frac{5}{2 (x - 2)} (4 x (x - 2)) - \frac{2}{x (x - 2)} (4 x (x - 2)) = 0 (4 x (x - 2))$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Annulez le facteur commun de $4 (x - 2)$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{x}{4 (x - 2)}$ dans le numérateur.

$\frac{- x}{4 (x - 2)} (4 x (x - 2)) + \frac{5}{2 (x - 2)} (4 x (x - 2)) - \frac{2}{x (x - 2)} (4 x (x - 2)) = 0 (4 x (x - 2))$

Étape 3.2.1.1.2

Factorisez $4 (x - 2)$ à partir de $4 x (x - 2)$ .

$\frac{- x}{4 (x - 2)} (4 (x - 2) (x)) + \frac{5}{2 (x - 2)} (4 x (x - 2)) - \frac{2}{x (x - 2)} (4 x (x - 2)) = 0 (4 x (x - 2))$

Étape 3.2.1.1.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{- x}{4 (x - 2)} (4 (x - 2) x) + \frac{5}{2 (x - 2)} (4 x (x - 2)) - \frac{2}{x (x - 2)} (4 x (x - 2)) = 0 (4 x (x - 2))$

Étape 3.2.1.1.4

Réécrivez l’expression.

$- x \cdot x + \frac{5}{2 (x - 2)} (4 x (x - 2)) - \frac{2}{x (x - 2)} (4 x (x - 2)) = 0 (4 x (x - 2))$

Étape 3.2.1.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- (x^{1} x) + \frac{5}{2 (x - 2)} (4 x (x - 2)) - \frac{2}{x (x - 2)} (4 x (x - 2)) = 0 (4 x (x - 2))$

Étape 3.2.1.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- (x^{1} x^{1}) + \frac{5}{2 (x - 2)} (4 x (x - 2)) - \frac{2}{x (x - 2)} (4 x (x - 2)) = 0 (4 x (x - 2))$

Étape 3.2.1.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- x^{1 + 1} + \frac{5}{2 (x - 2)} (4 x (x - 2)) - \frac{2}{x (x - 2)} (4 x (x - 2)) = 0 (4 x (x - 2))$

Étape 3.2.1.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$- x^{2} + \frac{5}{2 (x - 2)} (4 x (x - 2)) - \frac{2}{x (x - 2)} (4 x (x - 2)) = 0 (4 x (x - 2))$

Étape 3.2.1.6

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- x^{2} + 4 \frac{5}{2 (x - 2)} (x (x - 2)) - \frac{2}{x (x - 2)} (4 x (x - 2)) = 0 (4 x (x - 2))$

Étape 3.2.1.7

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.7.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$- x^{2} + 2 (2) \frac{5}{2 (x - 2)} (x (x - 2)) - \frac{2}{x (x - 2)} (4 x (x - 2)) = 0 (4 x (x - 2))$

Étape 3.2.1.7.2

Annulez le facteur commun.

$- x^{2} + 2 \cdot 2 \frac{5}{2 (x - 2)} (x (x - 2)) - \frac{2}{x (x - 2)} (4 x (x - 2)) = 0 (4 x (x - 2))$

Étape 3.2.1.7.3

Réécrivez l’expression.

$- x^{2} + 2 \frac{5}{x - 2} (x (x - 2)) - \frac{2}{x (x - 2)} (4 x (x - 2)) = 0 (4 x (x - 2))$

Étape 3.2.1.8

Associez $2$ et $\frac{5}{x - 2}$ .

$- x^{2} + \frac{2 \cdot 5}{x - 2} (x (x - 2)) - \frac{2}{x (x - 2)} (4 x (x - 2)) = 0 (4 x (x - 2))$

Étape 3.2.1.9

Multipliez $2$ par $5$ .

$- x^{2} + \frac{10}{x - 2} (x (x - 2)) - \frac{2}{x (x - 2)} (4 x (x - 2)) = 0 (4 x (x - 2))$

Étape 3.2.1.10

Annulez le facteur commun de $x - 2$ .

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Étape 3.2.1.10.1

Factorisez $x - 2$ à partir de $x (x - 2)$ .

$- x^{2} + \frac{10}{x - 2} ((x - 2) x) - \frac{2}{x (x - 2)} (4 x (x - 2)) = 0 (4 x (x - 2))$

Étape 3.2.1.10.2

Annulez le facteur commun.

$- x^{2} + \frac{10}{x - 2} ((x - 2) x) - \frac{2}{x (x - 2)} (4 x (x - 2)) = 0 (4 x (x - 2))$

Étape 3.2.1.10.3

Réécrivez l’expression.

$- x^{2} + 10 x - \frac{2}{x (x - 2)} (4 x (x - 2)) = 0 (4 x (x - 2))$

Étape 3.2.1.11

Annulez le facteur commun de $x (x - 2)$ .

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Étape 3.2.1.11.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{2}{x (x - 2)}$ dans le numérateur.

$- x^{2} + 10 x + \frac{- 2}{x (x - 2)} (4 x (x - 2)) = 0 (4 x (x - 2))$

Étape 3.2.1.11.2

Factorisez $x (x - 2)$ à partir de $4 x (x - 2)$ .

$- x^{2} + 10 x + \frac{- 2}{x (x - 2)} (x (x - 2) (4)) = 0 (4 x (x - 2))$

Étape 3.2.1.11.3

Annulez le facteur commun.

$- x^{2} + 10 x + \frac{- 2}{x (x - 2)} (x (x - 2) \cdot 4) = 0 (4 x (x - 2))$

Étape 3.2.1.11.4

Réécrivez l’expression.

$- x^{2} + 10 x - 2 \cdot 4 = 0 (4 x (x - 2))$

Étape 3.2.1.12

Multipliez $- 2$ par $4$ .

$- x^{2} + 10 x - 8 = 0 (4 x (x - 2))$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$- x^{2} + 10 x - 8 = 0 (4 x \cdot x + 4 x \cdot - 2)$

Étape 3.3.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.3.2.1

Déplacez $x$ .

$- x^{2} + 10 x - 8 = 0 (4 (x \cdot x) + 4 x \cdot - 2)$

Étape 3.3.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$- x^{2} + 10 x - 8 = 0 (4 x^{2} + 4 x \cdot - 2)$

Étape 3.3.3

Multipliez $- 2$ par $4$ .

$- x^{2} + 10 x - 8 = 0 (4 x^{2} - 8 x)$

Étape 3.3.4

Multipliez $0$ par $4 x^{2} - 8 x$ .

$- x^{2} + 10 x - 8 = 0$

Étape 4

Résolvez l’équation.

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Étape 4.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 4.2

Remplacez les valeurs $a = - 1$ , $b = 10$ et $c = - 8$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot - 8)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 4.3

Simplifiez

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Étape 4.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.1.1

Élevez $10$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot - 1 \cdot - 8}}{2 \cdot - 1}$

Étape 4.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot - 1 \cdot - 8$ .

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Étape 4.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 + 4 \cdot - 8}}{2 \cdot - 1}$

Étape 4.3.1.2.2

Multipliez $4$ par $- 8$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 32}}{2 \cdot - 1}$

Étape 4.3.1.3

Soustrayez $32$ de $100$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{68}}{2 \cdot - 1}$

Étape 4.3.1.4

Réécrivez $68$ comme $2^{2} \cdot 17$ .

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Étape 4.3.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $68$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{4 (17)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 4.3.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 17}}{2 \cdot - 1}$

Étape 4.3.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 10 \pm 2 \sqrt{17}}{2 \cdot - 1}$

Étape 4.3.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$x = \frac{- 10 \pm 2 \sqrt{17}}{- 2}$

Étape 4.3.3

Simplifiez $\frac{- 10 \pm 2 \sqrt{17}}{- 2}$ .

$x = 5 \pm \sqrt{17}$

Étape 4.4

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = 5 + \sqrt{17}, 5 - \sqrt{17}$

$x = 5 \pm \sqrt{17}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = 5 \pm \sqrt{17}$

Forme décimale :

$x = 9.12310562 \dots, 0.87689437 \dots$