Algèbre Exemples

$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{x}} = x^{a}$

Étape 1

Réécrivez l’équation comme $x^{a} = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{x}}$ .

$x^{a} = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{x}}$

Étape 2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (x^{a}) = \ln (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{x}})$

Étape 3

Développez $\ln (x^{a})$ en déplaçant $a$ hors du logarithme.

$a \ln (x) = \ln (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{x}})$

Étape 4

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Simplifiez $\ln (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{x}})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1

Multipliez $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{x}}$ par $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$a \ln (x) = \ln (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}})$

Étape 4.1.2

Associez et simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.1

Multipliez $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{x}}$ par $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$a \ln (x) = \ln (\frac{x^{\frac{1}{2}} \sqrt{x}}{\sqrt{x} \sqrt{x}})$

Étape 4.1.2.2

Élevez $\sqrt{x}$ à la puissance $1$ .

$a \ln (x) = \ln (\frac{x^{\frac{1}{2}} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x}})$

Étape 4.1.2.3

Élevez $\sqrt{x}$ à la puissance $1$ .

$a \ln (x) = \ln (\frac{x^{\frac{1}{2}} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1}})$

Étape 4.1.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$a \ln (x) = \ln (\frac{x^{\frac{1}{2}} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1 + 1}})$

Étape 4.1.2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$a \ln (x) = \ln (\frac{x^{\frac{1}{2}} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{2}})$

Étape 4.1.2.6

Réécrivez ${\sqrt{x}}^{2}$ comme $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$a \ln (x) = \ln (\frac{x^{\frac{1}{2}} \sqrt{x}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Étape 4.1.2.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$a \ln (x) = \ln (\frac{x^{\frac{1}{2}} \sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Étape 4.1.2.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$a \ln (x) = \ln (\frac{x^{\frac{1}{2}} \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}})$

Étape 4.1.2.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$a \ln (x) = \ln (\frac{x^{\frac{1}{2}} \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}})$

Étape 4.1.2.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$a \ln (x) = \ln (\frac{x^{\frac{1}{2}} \sqrt{x}}{x^{1}})$

Étape 4.1.2.6.5

Simplifiez

$a \ln (x) = \ln (\frac{x^{\frac{1}{2}} \sqrt{x}}{x})$

Étape 4.1.3

Placez $x^{\frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$a \ln (x) = \ln (\frac{\sqrt{x}}{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}})$

Étape 4.1.4

Multipliez $x$ par $x^{- \frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.4.1

Multipliez $x$ par $x^{- \frac{1}{2}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.4.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$a \ln (x) = \ln (\frac{\sqrt{x}}{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}})$

Étape 4.1.4.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$a \ln (x) = \ln (\frac{\sqrt{x}}{x^{1 - \frac{1}{2}}})$

Étape 4.1.4.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$a \ln (x) = \ln (\frac{\sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}})$

Étape 4.1.4.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$a \ln (x) = \ln (\frac{\sqrt{x}}{x^{\frac{2 - 1}{2}}})$

Étape 4.1.4.4

Soustrayez $1$ de $2$ .

$a \ln (x) = \ln (\frac{\sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2}}})$

Étape 5

Divisez chaque terme dans $a \ln (x) = \ln (\frac{\sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2}}})$ par $\ln (x)$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Divisez chaque terme dans $a \ln (x) = \ln (\frac{\sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2}}})$ par $\ln (x)$ .

$\frac{a \ln (x)}{\ln (x)} = \frac{\ln (\frac{\sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2}}})}{\ln (x)}$

Étape 5.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Annulez le facteur commun de $\ln (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{a \ln (x)}{\ln (x)} = \frac{\ln (\frac{\sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2}}})}{\ln (x)}$

Étape 5.2.1.2

Divisez $a$ par $1$ .

$a = \frac{\ln (\frac{\sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2}}})}{\ln (x)}$