Algèbre Exemples

$\frac{1}{x} - x > 0$

Étape 1

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 1.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$x, 1, 1$

Étape 1.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$x$

Étape 2

Multiplier chaque terme dans $\frac{1}{x} - x > 0$ par $x$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 2.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{1}{x} - x > 0$ par $x$ .

$\frac{1}{x} x - x \cdot x > 0 x$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{x} x - x \cdot x > 0 x$

Étape 2.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$1 - x \cdot x > 0 x$

Étape 2.2.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.2.1.2.1

Déplacez $x$ .

$1 - (x \cdot x) > 0 x$

Étape 2.2.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$1 - x^{2} > 0 x$

Étape 2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Multipliez $0$ par $x$ .

$1 - x^{2} > 0$

Étape 3

Résolvez l’inégalité.

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Étape 3.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’inégalité.

$- x^{2} > - 1$

Étape 3.2

Divisez chaque terme dans $- x^{2} > - 1$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 3.2.1

Divisez chaque terme dans $- x^{2} > - 1$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- x^{2}}{- 1} < \frac{- 1}{- 1}$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x^{2}}{1} < \frac{- 1}{- 1}$

Étape 3.2.2.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} < \frac{- 1}{- 1}$

Étape 3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.3.1

Divisez $- 1$ par $- 1$ .

$x^{2} < 1$

Étape 3.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’inégalité pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$\sqrt{x^{2}} < \sqrt{1}$

Étape 3.4

Simplifiez l’équation.

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Étape 3.4.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.1.1

Extrayez les termes de sous le radical.

$| x | < \sqrt{1}$

Étape 3.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.2.1

Toute racine de $1$ est $1$ .

$| x | < 1$

Étape 3.5

Écrivez $| x | < 1$ comme fonction définie par morceaux.

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Étape 3.5.1

Pour déterminer l’intervalle pour la première partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est non négatif.

$x \geq 0$

Étape 3.5.2

Dans la partie où $x$ est non négatif, retirez la valeur absolue.

$x < 1$

Étape 3.5.3

Pour déterminer l’intervalle pour la deuxième partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est négatif.

$x < 0$

Étape 3.5.4

Dans la partie où $x$ est négatif, retirez la valeur absolue et multipliez par $- 1$ .

$- x < 1$

Étape 3.5.5

Écrivez comme fonction définie par morceaux.

${\begin{cases} x < 1 & x \geq 0 \\ - x < 1 & x < 0 \end{cases}$

Étape 3.6

Déterminez l’intersection de $x < 1$ et $x \geq 0$ .

$0 \leq x < 1$

Étape 3.7

Résolvez $- x < 1$ quand $x < 0$ .

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Étape 3.7.1

Divisez chaque terme dans $- x < 1$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 3.7.1.1

Divisez chaque terme dans $- x < 1$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- x}{- 1} > \frac{1}{- 1}$

Étape 3.7.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.7.1.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} > \frac{1}{- 1}$

Étape 3.7.1.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x > \frac{1}{- 1}$

Étape 3.7.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.7.1.3.1

Divisez $1$ par $- 1$ .

$x > - 1$

Étape 3.7.2

Déterminez l’intersection de $x > - 1$ et $x < 0$ .

$- 1 < x < 0$

Étape 3.8

Déterminez l’union des solutions.

$- 1 < x < 1$

Étape 4

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$- 1 < x < 1$

Notation d’intervalle :

$(- 1, 1)$

Étape 5