Algèbre Exemples

$\frac{3 x^{2} - 27}{x^{2} + 6 x + 9} + \frac{2 x - 4}{x^{2} + x - 6}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{2} - 27$ .

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Étape 1.1.1.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{2}$ .

$\frac{3 (x^{2}) - 27}{x^{2} + 6 x + 9} + \frac{2 x - 4}{x^{2} + x - 6}$

Étape 1.1.1.2

Factorisez $3$ à partir de $- 27$ .

$\frac{3 x^{2} + 3 \cdot - 9}{x^{2} + 6 x + 9} + \frac{2 x - 4}{x^{2} + x - 6}$

Étape 1.1.1.3

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{2} + 3 \cdot - 9$ .

$\frac{3 (x^{2} - 9)}{x^{2} + 6 x + 9} + \frac{2 x - 4}{x^{2} + x - 6}$

Étape 1.1.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{3 (x^{2} - 3^{2})}{x^{2} + 6 x + 9} + \frac{2 x - 4}{x^{2} + x - 6}$

Étape 1.1.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 3$ .

$\frac{3 (x + 3) (x - 3)}{x^{2} + 6 x + 9} + \frac{2 x - 4}{x^{2} + x - 6}$

Étape 1.2

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 1.2.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{3 (x + 3) (x - 3)}{x^{2} + 6 x + 3^{2}} + \frac{2 x - 4}{x^{2} + x - 6}$

Étape 1.2.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

Étape 1.2.3

Réécrivez le polynôme.

$\frac{3 (x + 3) (x - 3)}{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2}} + \frac{2 x - 4}{x^{2} + x - 6}$

Étape 1.2.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 3$ .

$\frac{3 (x + 3) (x - 3)}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{2 x - 4}{x^{2} + x - 6}$

Étape 1.3

Annulez le facteur commun à $x + 3$ et ${(x + 3)}^{2}$ .

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Étape 1.3.1

Factorisez $x + 3$ à partir de $3 (x + 3) (x - 3)$ .

$\frac{(x + 3) (3 (x - 3))}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{2 x - 4}{x^{2} + x - 6}$

Étape 1.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.3.2.1

Factorisez $x + 3$ à partir de ${(x + 3)}^{2}$ .

$\frac{(x + 3) (3 (x - 3))}{(x + 3) (x + 3)} + \frac{2 x - 4}{x^{2} + x - 6}$

Étape 1.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x + 3) (3 (x - 3))}{(x + 3) (x + 3)} + \frac{2 x - 4}{x^{2} + x - 6}$

Étape 1.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 (x - 3)}{x + 3} + \frac{2 x - 4}{x^{2} + x - 6}$

Étape 1.4

Factorisez $2$ à partir de $2 x - 4$ .

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Étape 1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$\frac{3 (x - 3)}{x + 3} + \frac{2 (x) - 4}{x^{2} + x - 6}$

Étape 1.4.2

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$\frac{3 (x - 3)}{x + 3} + \frac{2 x + 2 \cdot - 2}{x^{2} + x - 6}$

Étape 1.4.3

Factorisez $2$ à partir de $2 x + 2 \cdot - 2$ .

$\frac{3 (x - 3)}{x + 3} + \frac{2 (x - 2)}{x^{2} + x - 6}$

Étape 1.5

Factorisez $x^{2} + x - 6$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.5.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 6$ et dont la somme est $1$ .

$- 2, 3$

Étape 1.5.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{3 (x - 3)}{x + 3} + \frac{2 (x - 2)}{(x - 2) (x + 3)}$

Étape 1.6

Annulez le facteur commun de $x - 2$ .

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Étape 1.6.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 (x - 3)}{x + 3} + \frac{2 (x - 2)}{(x - 2) (x + 3)}$

Étape 1.6.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 (x - 3)}{x + 3} + \frac{2}{x + 3}$

Étape 2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3 (x - 3) + 2}{x + 3}$

Étape 3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 x + 3 \cdot - 3 + 2}{x + 3}$

Étape 3.2

Multipliez $3$ par $- 3$ .

$\frac{3 x - 9 + 2}{x + 3}$

Étape 4

Additionnez $- 9$ et $2$ .

$\frac{3 x - 7}{x + 3}$