Algèbre Exemples

$\frac{x^{5} - 12 x^{4} + 27 x^{3}}{x + 6} \cdot \frac{2 x^{2} - 72}{6 x^{2} - 90 x + 324}$

Étape 1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1

Factorisez $x^{3}$ à partir de $x^{5} - 12 x^{4} + 27 x^{3}$ .

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Étape 1.1.1

Factorisez $x^{3}$ à partir de $x^{5}$ .

$\frac{x^{3} x^{2} - 12 x^{4} + 27 x^{3}}{x + 6} \cdot \frac{2 x^{2} - 72}{6 x^{2} - 90 x + 324}$

Étape 1.1.2

Factorisez $x^{3}$ à partir de $- 12 x^{4}$ .

$\frac{x^{3} x^{2} + x^{3} (- 12 x) + 27 x^{3}}{x + 6} \cdot \frac{2 x^{2} - 72}{6 x^{2} - 90 x + 324}$

Étape 1.1.3

Factorisez $x^{3}$ à partir de $27 x^{3}$ .

$\frac{x^{3} x^{2} + x^{3} (- 12 x) + x^{3} \cdot 27}{x + 6} \cdot \frac{2 x^{2} - 72}{6 x^{2} - 90 x + 324}$

Étape 1.1.4

Factorisez $x^{3}$ à partir de $x^{3} x^{2} + x^{3} (- 12 x)$ .

$\frac{x^{3} (x^{2} - 12 x) + x^{3} \cdot 27}{x + 6} \cdot \frac{2 x^{2} - 72}{6 x^{2} - 90 x + 324}$

Étape 1.1.5

Factorisez $x^{3}$ à partir de $x^{3} (x^{2} - 12 x) + x^{3} \cdot 27$ .

$\frac{x^{3} (x^{2} - 12 x + 27)}{x + 6} \cdot \frac{2 x^{2} - 72}{6 x^{2} - 90 x + 324}$

Étape 1.2

Factorisez $x^{2} - 12 x + 27$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $27$ et dont la somme est $- 12$ .

$- 9, - 3$

Étape 1.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{x^{3} ((x - 9) (x - 3))}{x + 6} \cdot \frac{2 x^{2} - 72}{6 x^{2} - 90 x + 324}$

$\frac{x^{3} (x - 9) (x - 3)}{x + 6} \cdot \frac{2 x^{2} - 72}{6 x^{2} - 90 x + 324}$

Étape 2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2} - 72$ .

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Étape 2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{3} (x - 9) (x - 3)}{x + 6} \cdot \frac{2 (x^{2}) - 72}{6 x^{2} - 90 x + 324}$

Étape 2.1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 72$ .

$\frac{x^{3} (x - 9) (x - 3)}{x + 6} \cdot \frac{2 x^{2} + 2 \cdot - 36}{6 x^{2} - 90 x + 324}$

Étape 2.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2} + 2 \cdot - 36$ .

$\frac{x^{3} (x - 9) (x - 3)}{x + 6} \cdot \frac{2 (x^{2} - 36)}{6 x^{2} - 90 x + 324}$

Étape 2.2

Réécrivez $36$ comme $6^{2}$ .

$\frac{x^{3} (x - 9) (x - 3)}{x + 6} \cdot \frac{2 (x^{2} - 6^{2})}{6 x^{2} - 90 x + 324}$

Étape 2.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 6$ .

$\frac{x^{3} (x - 9) (x - 3)}{x + 6} \cdot \frac{2 (x + 6) (x - 6)}{6 x^{2} - 90 x + 324}$

Étape 3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.1

Factorisez $6$ à partir de $6 x^{2} - 90 x + 324$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $6$ à partir de $6 x^{2}$ .

$\frac{x^{3} (x - 9) (x - 3)}{x + 6} \cdot \frac{2 (x + 6) (x - 6)}{6 (x^{2}) - 90 x + 324}$

Étape 3.1.2

Factorisez $6$ à partir de $- 90 x$ .

$\frac{x^{3} (x - 9) (x - 3)}{x + 6} \cdot \frac{2 (x + 6) (x - 6)}{6 (x^{2}) + 6 (- 15 x) + 324}$

Étape 3.1.3

Factorisez $6$ à partir de $324$ .

$\frac{x^{3} (x - 9) (x - 3)}{x + 6} \cdot \frac{2 (x + 6) (x - 6)}{6 x^{2} + 6 (- 15 x) + 6 \cdot 54}$

Étape 3.1.4

Factorisez $6$ à partir de $6 x^{2} + 6 (- 15 x)$ .

$\frac{x^{3} (x - 9) (x - 3)}{x + 6} \cdot \frac{2 (x + 6) (x - 6)}{6 (x^{2} - 15 x) + 6 \cdot 54}$

Étape 3.1.5

Factorisez $6$ à partir de $6 (x^{2} - 15 x) + 6 \cdot 54$ .

$\frac{x^{3} (x - 9) (x - 3)}{x + 6} \cdot \frac{2 (x + 6) (x - 6)}{6 (x^{2} - 15 x + 54)}$

Étape 3.2

Factorisez $x^{2} - 15 x + 54$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $54$ et dont la somme est $- 15$ .

$- 9, - 6$

Étape 3.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{x^{3} (x - 9) (x - 3)}{x + 6} \cdot \frac{2 (x + 6) (x - 6)}{6 ((x - 9) (x - 6))}$

$\frac{x^{3} (x - 9) (x - 3)}{x + 6} \cdot \frac{2 (x + 6) (x - 6)}{6 (x - 9) (x - 6)}$

Étape 4

Simplifiez les termes.

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Étape 4.1

Annulez le facteur commun de $x - 9$ .

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Étape 4.1.1

Factorisez $x - 9$ à partir de $x^{3} (x - 9) (x - 3)$ .

$\frac{(x - 9) (x^{3} (x - 3))}{x + 6} \cdot \frac{2 (x + 6) (x - 6)}{6 (x - 9) (x - 6)}$

Étape 4.1.2

Factorisez $x - 9$ à partir de $6 (x - 9) (x - 6)$ .

$\frac{(x - 9) (x^{3} (x - 3))}{x + 6} \cdot \frac{2 (x + 6) (x - 6)}{(x - 9) (6 (x - 6))}$

Étape 4.1.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x - 9) (x^{3} (x - 3))}{x + 6} \cdot \frac{2 (x + 6) (x - 6)}{(x - 9) (6 (x - 6))}$

Étape 4.1.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{3} (x - 3)}{x + 6} \cdot \frac{2 (x + 6) (x - 6)}{6 (x - 6)}$

Étape 4.2

Annulez le facteur commun de $x + 6$ .

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Étape 4.2.1

Factorisez $x + 6$ à partir de $2 (x + 6) (x - 6)$ .

$\frac{x^{3} (x - 3)}{x + 6} \cdot \frac{(x + 6) (2 (x - 6))}{6 (x - 6)}$

Étape 4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{3} (x - 3)}{x + 6} \cdot \frac{(x + 6) (2 (x - 6))}{6 (x - 6)}$

Étape 4.2.3

Réécrivez l’expression.

$x^{3} (x - 3) \cdot \frac{2 (x - 6)}{6 (x - 6)}$

Étape 4.3

Associez $\frac{2 (x - 6)}{6 (x - 6)}$ et $x^{3}$ .

$\frac{2 (x - 6) x^{3}}{6 (x - 6)} (x - 3)$

Étape 4.4

Annulez le facteur commun à $2$ et $6$ .

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Étape 4.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2 (x - 6) x^{3}$ .

$\frac{2 ((x - 6) x^{3})}{6 (x - 6)} (x - 3)$

Étape 4.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6 (x - 6)$ .

$\frac{2 ((x - 6) x^{3})}{2 (3 (x - 6))} (x - 3)$

Étape 4.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 ((x - 6) x^{3})}{2 (3 (x - 6))} (x - 3)$

Étape 4.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{(x - 6) x^{3}}{3 (x - 6)} (x - 3)$

Étape 4.5

Annulez le facteur commun de $x - 6$ .

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Étape 4.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x - 6) x^{3}}{3 (x - 6)} (x - 3)$

Étape 4.5.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{3}}{3} (x - 3)$

Étape 4.6

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{3}}{3} x + \frac{x^{3}}{3} \cdot - 3$

Étape 5

Multipliez $\frac{x^{3}}{3} x$ .

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Étape 5.1

Associez $\frac{x^{3}}{3}$ et $x$ .

$\frac{x^{3} x}{3} + \frac{x^{3}}{3} \cdot - 3$

Étape 5.2

Multipliez $x^{3}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.2.1

Multipliez $x^{3}$ par $x$ .

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Étape 5.2.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x^{3} x^{1}}{3} + \frac{x^{3}}{3} \cdot - 3$

Étape 5.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x^{3 + 1}}{3} + \frac{x^{3}}{3} \cdot - 3$

Étape 5.2.2

Additionnez $3$ et $1$ .

$\frac{x^{4}}{3} + \frac{x^{3}}{3} \cdot - 3$

Étape 6

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 6.1

Factorisez $3$ à partir de $- 3$ .

$\frac{x^{4}}{3} + \frac{x^{3}}{3} \cdot (3 (- 1))$

Étape 6.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{4}}{3} + \frac{x^{3}}{3} \cdot (3 \cdot - 1)$

Étape 6.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{4}}{3} + x^{3} \cdot - 1$

Étape 7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.1

Déplacez $- 1$ à gauche de $x^{3}$ .

$\frac{x^{4}}{3} - 1 \cdot x^{3}$

Étape 7.2

Réécrivez $- 1 x^{3}$ comme $- x^{3}$ .

$\frac{x^{4}}{3} - x^{3}$

Étape 8

Pour écrire $- x^{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x^{4}}{3} - x^{3} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 9

Simplifiez les termes.

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Étape 9.1

Associez $- x^{3}$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x^{4}}{3} + \frac{- x^{3} \cdot 3}{3}$

Étape 9.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x^{4} - x^{3} \cdot 3}{3}$

Étape 10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.1

Factorisez $x^{3}$ à partir de $x^{4} - x^{3} \cdot 3$ .

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Étape 10.1.1

Factorisez $x^{3}$ à partir de $x^{4}$ .

$\frac{x^{3} x - x^{3} \cdot 3}{3}$

Étape 10.1.2

Factorisez $x^{3}$ à partir de $- x^{3} \cdot 3$ .

$\frac{x^{3} x + x^{3} (- 1 \cdot 3)}{3}$

Étape 10.1.3

Factorisez $x^{3}$ à partir de $x^{3} x + x^{3} (- 1 \cdot 3)$ .

$\frac{x^{3} (x - 1 \cdot 3)}{3}$

Étape 10.2

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{x^{3} (x - 3)}{3}$