Algèbre Exemples

$y = {(\frac{3}{2})}^{x}$

Étape 1

Interchangez les variables.

$x = {(\frac{3}{2})}^{y}$

Étape 2

Résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Réécrivez l’équation comme ${(\frac{3}{2})}^{y} = x$ .

${(\frac{3}{2})}^{y} = x$

Étape 2.2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln ({(\frac{3}{2})}^{y}) = \ln (x)$

Étape 2.3

Développez le côté gauche.

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Étape 2.3.1

Développez $\ln ({(\frac{3}{2})}^{y})$ en déplaçant $y$ hors du logarithme.

$y \ln (\frac{3}{2}) = \ln (x)$

Étape 2.3.2

Réécrivez $\ln (\frac{3}{2})$ comme $\ln (3) - \ln (2)$ .

$y (\ln (3) - \ln (2)) = \ln (x)$

Étape 2.4

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.1

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$y \ln (\frac{3}{2}) = \ln (x)$

Étape 2.5

Divisez chaque terme dans $y \ln (\frac{3}{2}) = \ln (x)$ par $\ln (\frac{3}{2})$ et simplifiez.

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Étape 2.5.1

Divisez chaque terme dans $y \ln (\frac{3}{2}) = \ln (x)$ par $\ln (\frac{3}{2})$ .

$\frac{y \ln (\frac{3}{2})}{\ln (\frac{3}{2})} = \frac{\ln (x)}{\ln (\frac{3}{2})}$

Étape 2.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.5.2.1

Annulez le facteur commun de $\ln (\frac{3}{2})$ .

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Étape 2.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y \ln (\frac{3}{2})}{\ln (\frac{3}{2})} = \frac{\ln (x)}{\ln (\frac{3}{2})}$

Étape 2.5.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\ln (x)}{\ln (\frac{3}{2})}$

Étape 3

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (\frac{3}{2})}$

Étape 4

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (\frac{3}{2})}$ est l’inverse de $f (x) = {(\frac{3}{2})}^{x}$ .

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Étape 4.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 4.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 4.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 4.2.2

Évaluez $f^{- 1} ({(\frac{3}{2})}^{x})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{3}{2})}^{x}) = \frac{\ln ({(\frac{3}{2})}^{x})}{\ln (\frac{3}{2})}$

Étape 4.2.3

Développez $\ln ({(\frac{3}{2})}^{x})$ en déplaçant $x$ hors du logarithme.

$f^{- 1} ({(\frac{3}{2})}^{x}) = \frac{x \ln (\frac{3}{2})}{\ln (\frac{3}{2})}$

Étape 4.2.4

Annulez le facteur commun de $\ln (\frac{3}{2})$ .

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Étape 4.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} ({(\frac{3}{2})}^{x}) = \frac{x \ln (\frac{3}{2})}{\ln (\frac{3}{2})}$

Étape 4.2.4.2

Divisez $x$ par $1$ .

$f^{- 1} ({(\frac{3}{2})}^{x}) = x$

Étape 4.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 4.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 4.3.2

Évaluez $f (\frac{\ln (x)}{\ln (\frac{3}{2})})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{\ln (x)}{\ln (\frac{3}{2})}) = {(\frac{3}{2})}^{\frac{\ln (x)}{\ln (\frac{3}{2})}}$

Étape 4.3.3

Appliquez la règle de produit à $\frac{3}{2}$ .

$f (\frac{\ln (x)}{\ln (\frac{3}{2})}) = \frac{3^{\frac{\ln (x)}{\ln (\frac{3}{2})}}}{2^{\frac{\ln (x)}{\ln (\frac{3}{2})}}}$

Étape 4.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (\frac{3}{2})}$ est l’inverse de $f (x) = {(\frac{3}{2})}^{x}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (\frac{3}{2})}$