Algèbre Exemples

${(2^{x^{2} - 2 x})}^{4 - x} = 1$

Étape 1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln ({(2^{x^{2} - 2 x})}^{4 - x}) = \ln (1)$

Étape 2

Développez le côté gauche.

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Étape 2.1

Développez $\ln ({(2^{x^{2} - 2 x})}^{4 - x})$ en déplaçant $4 - x$ hors du logarithme.

$(4 - x) \ln (2^{x^{2} - 2 x}) = \ln (1)$

Étape 2.2

Développez $\ln (2^{x^{2} - 2 x})$ en déplaçant $x^{2} - 2 x$ hors du logarithme.

$(4 - x) ((x^{2} - 2 x) \ln (2)) = \ln (1)$

Étape 2.3

Supprimez les parenthèses.

$(4 - x) (x^{2} - 2 x) \ln (2) = \ln (1)$

Étape 3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1

Simplifiez $(4 - x) (x^{2} - 2 x) \ln (2)$ .

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Étape 3.1.1

Développez $(4 - x) (x^{2} - 2 x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$(4 (x^{2} - 2 x) - x (x^{2} - 2 x)) \ln (2) = \ln (1)$

Étape 3.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$(4 x^{2} + 4 (- 2 x) - x (x^{2} - 2 x)) \ln (2) = \ln (1)$

Étape 3.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$(4 x^{2} + 4 (- 2 x) - x \cdot x^{2} - x (- 2 x)) \ln (2) = \ln (1)$

Étape 3.1.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.2.1.1

Multipliez $- 2$ par $4$ .

$(4 x^{2} - 8 x - x \cdot x^{2} - x (- 2 x)) \ln (2) = \ln (1)$

Étape 3.1.2.1.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1.2.1.2.1

Déplacez $x^{2}$ .

$(4 x^{2} - 8 x - (x^{2} x) - x (- 2 x)) \ln (2) = \ln (1)$

Étape 3.1.2.1.2.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 3.1.2.1.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$(4 x^{2} - 8 x - (x^{2} x^{1}) - x (- 2 x)) \ln (2) = \ln (1)$

Étape 3.1.2.1.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(4 x^{2} - 8 x - x^{2 + 1} - x (- 2 x)) \ln (2) = \ln (1)$

Étape 3.1.2.1.2.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$(4 x^{2} - 8 x - x^{3} - x (- 2 x)) \ln (2) = \ln (1)$

Étape 3.1.2.1.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$(4 x^{2} - 8 x - x^{3} - 1 \cdot - 2 x \cdot x) \ln (2) = \ln (1)$

Étape 3.1.2.1.4

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1.2.1.4.1

Déplacez $x$ .

$(4 x^{2} - 8 x - x^{3} - 1 \cdot - 2 (x \cdot x)) \ln (2) = \ln (1)$

Étape 3.1.2.1.4.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$(4 x^{2} - 8 x - x^{3} - 1 \cdot - 2 x^{2}) \ln (2) = \ln (1)$

Étape 3.1.2.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$(4 x^{2} - 8 x - x^{3} + 2 x^{2}) \ln (2) = \ln (1)$

Étape 3.1.2.2

Additionnez $4 x^{2}$ et $2 x^{2}$ .

$(6 x^{2} - 8 x - x^{3}) \ln (2) = \ln (1)$

Étape 3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$6 x^{2} \ln (2) - 8 x \ln (2) - x^{3} \ln (2) = \ln (1)$

Étape 4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.1

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$6 x^{2} \ln (2) - 8 x \ln (2) - x^{3} \ln (2) = 0$

Étape 5

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.1

Déplacez $- 8 x \ln (2)$ .

$6 x^{2} \ln (2) - x^{3} \ln (2) - 8 x \ln (2) = 0$

Étape 5.2

Remettez dans l’ordre $6 x^{2} \ln (2)$ et $- x^{3} \ln (2)$ .

$- x^{3} \ln (2) + 6 x^{2} \ln (2) - 8 x \ln (2) = 0$

Étape 6

Factorisez $x \ln (2)$ à partir de $- x^{3} \ln (2) + 6 x^{2} \ln (2) - 8 x \ln (2)$ .

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Étape 6.1

Factorisez $x \ln (2)$ à partir de $- x^{3} \ln (2)$ .

$x \ln (2) (- x^{2}) + 6 x^{2} \ln (2) - 8 x \ln (2) = 0$

Étape 6.2

Factorisez $x \ln (2)$ à partir de $6 x^{2} \ln (2)$ .

$x \ln (2) (- x^{2}) + x \ln (2) (6 x) - 8 x \ln (2) = 0$

Étape 6.3

Factorisez $x \ln (2)$ à partir de $- 8 x \ln (2)$ .

$x \ln (2) (- x^{2}) + x \ln (2) (6 x) + x \ln (2) \cdot - 8 = 0$

Étape 6.4

Factorisez $x \ln (2)$ à partir de $x \ln (2) (- x^{2}) + x \ln (2) (6 x)$ .

$x \ln (2) (- x^{2} + 6 x) + x \ln (2) \cdot - 8 = 0$

Étape 6.5

Factorisez $x \ln (2)$ à partir de $x \ln (2) (- x^{2} + 6 x) + x \ln (2) \cdot - 8$ .

$x \ln (2) (- x^{2} + 6 x - 8) = 0$

Étape 7

Factorisez.

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Étape 7.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 7.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 1 \cdot - 8 = 8$ et dont la somme est $b = 6$ .

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Étape 7.1.1.1

Factorisez $6$ à partir de $6 x$ .

$x \ln (2) (- x^{2} + 6 (x) - 8) = 0$

Étape 7.1.1.2

Réécrivez $6$ comme $2$ plus $4$

$x \ln (2) (- x^{2} + (2 + 4) x - 8) = 0$

Étape 7.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$x \ln (2) (- x^{2} + 2 x + 4 x - 8) = 0$

Étape 7.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 7.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$x \ln (2) ((- x^{2} + 2 x) + 4 x - 8) = 0$

Étape 7.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$x \ln (2) (x (- x + 2) - 4 (- x + 2)) = 0$

Étape 7.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- x + 2$ .

$x \ln (2) ((- x + 2) (x - 4)) = 0$

Étape 7.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$x \ln (2) (- x + 2) (x - 4) = 0$

Étape 8

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$- x + 2 = 0$

$x - 4 = 0$

Étape 9

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 10

Définissez $- x + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 10.1

Définissez $- x + 2$ égal à $0$ .

$- x + 2 = 0$

Étape 10.2

Résolvez $- x + 2 = 0$ pour $x$ .

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Étape 10.2.1

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$- x = - 2$

Étape 10.2.2

Divisez chaque terme dans $- x = - 2$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 10.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- x = - 2$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Étape 10.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 10.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Étape 10.2.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

Étape 10.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 10.2.2.3.1

Divisez $- 2$ par $- 1$ .

$x = 2$

Étape 11

Définissez $x - 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 11.1

Définissez $x - 4$ égal à $0$ .

$x - 4 = 0$

Étape 11.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 4$

Étape 12

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x \ln (2) (- x + 2) (x - 4) = 0$ vraie.

$x = 0, 2, 4$