Algèbre Exemples

$\frac{x + \frac{1}{x + 2}}{x - \frac{1}{x + 2}}$

Étape 1

Multipliez le numérateur et le dénominateur de la fraction par $x + 2$ .

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Étape 1.1

Multipliez $\frac{x + \frac{1}{x + 2}}{x - \frac{1}{x + 2}}$ par $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{x + 2}{x + 2} \cdot \frac{x + \frac{1}{x + 2}}{x - \frac{1}{x + 2}}$

Étape 1.2

Associez.

$\frac{(x + 2) (x + \frac{1}{x + 2})}{(x + 2) (x - \frac{1}{x + 2})}$

Étape 2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(x + 2) x + (x + 2) \frac{1}{x + 2}}{(x + 2) x + (x + 2) (- \frac{1}{x + 2})}$

Étape 3

Simplifiez en annulant.

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Étape 3.1

Annulez le facteur commun de $x + 2$ .

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Étape 3.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x + 2) x + (x + 2) \frac{1}{x + 2}}{(x + 2) x + (x + 2) (- \frac{1}{x + 2})}$

Étape 3.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(x + 2) x + 1}{(x + 2) x + (x + 2) (- \frac{1}{x + 2})}$

Étape 3.2

Annulez le facteur commun de $x + 2$ .

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Étape 3.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{x + 2}$ dans le numérateur.

$\frac{(x + 2) x + 1}{(x + 2) x + (x + 2) \frac{- 1}{x + 2}}$

Étape 3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x + 2) x + 1}{(x + 2) x + (x + 2) \frac{- 1}{x + 2}}$

Étape 3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{(x + 2) x + 1}{(x + 2) x - 1}$

Étape 4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot x + 2 x + 1}{(x + 2) x - 1}$

Étape 4.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x^{2} + 2 x + 1}{(x + 2) x - 1}$

Étape 4.3

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 4.3.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 2 x + 1^{2}}{(x + 2) x - 1}$

Étape 4.3.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Étape 4.3.3

Réécrivez le polynôme.

$\frac{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}}{(x + 2) x - 1}$

Étape 4.3.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 1$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{(x + 2) x - 1}$

Étape 5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{x \cdot x + 2 x - 1}$

Étape 5.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} + 2 x - 1}$