Algèbre Exemples

$4 z - 1 = \sqrt{25 z^{2} - 14 z + 2}$

Étape 1

Comme le radical est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$\sqrt{25 z^{2} - 14 z + 2} = 4 z - 1$

Étape 2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{25 z^{2} - 14 z + 2}}^{2} = {(4 z - 1)}^{2}$

Étape 3

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{25 z^{2} - 14 z + 2}$ comme ${(25 z^{2} - 14 z + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(25 z^{2} - 14 z + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(4 z - 1)}^{2}$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Simplifiez ${({(25 z^{2} - 14 z + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(25 z^{2} - 14 z + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(25 z^{2} - 14 z + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(4 z - 1)}^{2}$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(25 z^{2} - 14 z + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(4 z - 1)}^{2}$

Étape 3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(25 z^{2} - 14 z + 2)}^{1} = {(4 z - 1)}^{2}$

Étape 3.2.1.2

Simplifiez

$25 z^{2} - 14 z + 2 = {(4 z - 1)}^{2}$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Simplifiez ${(4 z - 1)}^{2}$ .

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Étape 3.3.1.1

Réécrivez ${(4 z - 1)}^{2}$ comme $(4 z - 1) (4 z - 1)$ .

$25 z^{2} - 14 z + 2 = (4 z - 1) (4 z - 1)$

Étape 3.3.1.2

Développez $(4 z - 1) (4 z - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$25 z^{2} - 14 z + 2 = 4 z (4 z - 1) - 1 (4 z - 1)$

Étape 3.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$25 z^{2} - 14 z + 2 = 4 z (4 z) + 4 z \cdot - 1 - 1 (4 z - 1)$

Étape 3.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$25 z^{2} - 14 z + 2 = 4 z (4 z) + 4 z \cdot - 1 - 1 (4 z) - 1 \cdot - 1$

Étape 3.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.1.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$25 z^{2} - 14 z + 2 = 4 \cdot 4 z \cdot z + 4 z \cdot - 1 - 1 (4 z) - 1 \cdot - 1$

Étape 3.3.1.3.1.2

Multipliez $z$ par $z$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.3.1.3.1.2.1

Déplacez $z$ .

$25 z^{2} - 14 z + 2 = 4 \cdot 4 (z \cdot z) + 4 z \cdot - 1 - 1 (4 z) - 1 \cdot - 1$

Étape 3.3.1.3.1.2.2

Multipliez $z$ par $z$ .

$25 z^{2} - 14 z + 2 = 4 \cdot 4 z^{2} + 4 z \cdot - 1 - 1 (4 z) - 1 \cdot - 1$

Étape 3.3.1.3.1.3

Multipliez $4$ par $4$ .

$25 z^{2} - 14 z + 2 = 16 z^{2} + 4 z \cdot - 1 - 1 (4 z) - 1 \cdot - 1$

Étape 3.3.1.3.1.4

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$25 z^{2} - 14 z + 2 = 16 z^{2} - 4 z - 1 (4 z) - 1 \cdot - 1$

Étape 3.3.1.3.1.5

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$25 z^{2} - 14 z + 2 = 16 z^{2} - 4 z - 4 z - 1 \cdot - 1$

Étape 3.3.1.3.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$25 z^{2} - 14 z + 2 = 16 z^{2} - 4 z - 4 z + 1$

Étape 3.3.1.3.2

Soustrayez $4 z$ de $- 4 z$ .

$25 z^{2} - 14 z + 2 = 16 z^{2} - 8 z + 1$

Étape 4

Résolvez $z$ .

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Étape 4.1

Déplacez tous les termes contenant $z$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 4.1.1

Soustrayez $16 z^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$25 z^{2} - 14 z + 2 - 16 z^{2} = - 8 z + 1$

Étape 4.1.2

Ajoutez $8 z$ aux deux côtés de l’équation.

$25 z^{2} - 14 z + 2 - 16 z^{2} + 8 z = 1$

Étape 4.1.3

Soustrayez $16 z^{2}$ de $25 z^{2}$ .

$9 z^{2} - 14 z + 2 + 8 z = 1$

Étape 4.1.4

Additionnez $- 14 z$ et $8 z$ .

$9 z^{2} - 6 z + 2 = 1$

Étape 4.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$9 z^{2} - 6 z + 2 - 1 = 0$

Étape 4.3

Soustrayez $1$ de $2$ .

$9 z^{2} - 6 z + 1 = 0$

Étape 4.4

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 4.4.1

Réécrivez $9 z^{2}$ comme ${(3 z)}^{2}$ .

${(3 z)}^{2} - 6 z + 1 = 0$

Étape 4.4.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

${(3 z)}^{2} - 6 z + 1^{2} = 0$

Étape 4.4.3

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$6 z = 2 \cdot (3 z) \cdot 1$

Étape 4.4.4

Réécrivez le polynôme.

${(3 z)}^{2} - 2 \cdot (3 z) \cdot 1 + 1^{2} = 0$

Étape 4.4.5

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = 3 z$ et $b = 1$ .

${(3 z - 1)}^{2} = 0$

Étape 4.5

Définissez le $3 z - 1$ égal à $0$ .

$3 z - 1 = 0$

Étape 4.6

Résolvez $z$ .

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Étape 4.6.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$3 z = 1$

Étape 4.6.2

Divisez chaque terme dans $3 z = 1$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 4.6.2.1

Divisez chaque terme dans $3 z = 1$ par $3$ .

$\frac{3 z}{3} = \frac{1}{3}$

Étape 4.6.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.6.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.6.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 z}{3} = \frac{1}{3}$

Étape 4.6.2.2.1.2

Divisez $z$ par $1$ .

$z = \frac{1}{3}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$z = \frac{1}{3}$

Forme décimale :

$z = 0.\overline{3}$