Algèbre Exemples

$2 + \frac{3}{(2 x + 1) (2 x - 1)} = 3$

Étape 1

Déplacez tous les termes du côté gauche de l’équation et simplifiez.

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Étape 1.1

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$2 + \frac{3}{(2 x + 1) (2 x - 1)} - 3 = 0$

Étape 1.2

Soustrayez $3$ de $2$ .

$- 1 + \frac{3}{(2 x + 1) (2 x - 1)} = 0$

Étape 2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$1, (2 x + 1) (2 x - 1), 1$

Étape 2.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$(2 x + 1) (2 x - 1)$

Étape 3

Multiplier chaque terme dans $- 1 + \frac{3}{(2 x + 1) (2 x - 1)} = 0$ par $(2 x + 1) (2 x - 1)$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.1

Multipliez chaque terme dans $- 1 + \frac{3}{(2 x + 1) (2 x - 1)} = 0$ par $(2 x + 1) (2 x - 1)$ .

$- ((2 x + 1) (2 x - 1)) + \frac{3}{(2 x + 1) (2 x - 1)} ((2 x + 1) (2 x - 1)) = 0 ((2 x + 1) (2 x - 1))$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Développez $(2 x + 1) (2 x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$- (2 x (2 x - 1) + 1 (2 x - 1)) + \frac{3}{(2 x + 1) (2 x - 1)} ((2 x + 1) (2 x - 1)) = 0 ((2 x + 1) (2 x - 1))$

Étape 3.2.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$- (2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 + 1 (2 x - 1)) + \frac{3}{(2 x + 1) (2 x - 1)} ((2 x + 1) (2 x - 1)) = 0 ((2 x + 1) (2 x - 1))$

Étape 3.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$- (2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 1) + \frac{3}{(2 x + 1) (2 x - 1)} ((2 x + 1) (2 x - 1)) = 0 ((2 x + 1) (2 x - 1))$

Étape 3.2.1.2

Associez les termes opposés dans $2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 1$ .

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Étape 3.2.1.2.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $2 x \cdot - 1$ et $1 (2 x)$ .

$- (2 x (2 x) - 1 \cdot 2 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1) + \frac{3}{(2 x + 1) (2 x - 1)} ((2 x + 1) (2 x - 1)) = 0 ((2 x + 1) (2 x - 1))$

Étape 3.2.1.2.2

Additionnez $- 1 \cdot 2 x$ et $1 \cdot 2 x$ .

$- (2 x (2 x) + 0 + 1 \cdot - 1) + \frac{3}{(2 x + 1) (2 x - 1)} ((2 x + 1) (2 x - 1)) = 0 ((2 x + 1) (2 x - 1))$

Étape 3.2.1.2.3

Additionnez $2 x (2 x)$ et $0$ .

$- (2 x (2 x) + 1 \cdot - 1) + \frac{3}{(2 x + 1) (2 x - 1)} ((2 x + 1) (2 x - 1)) = 0 ((2 x + 1) (2 x - 1))$

Étape 3.2.1.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.3.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- (2 \cdot 2 x \cdot x + 1 \cdot - 1) + \frac{3}{(2 x + 1) (2 x - 1)} ((2 x + 1) (2 x - 1)) = 0 ((2 x + 1) (2 x - 1))$

Étape 3.2.1.3.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.2.1.3.2.1

Déplacez $x$ .

$- (2 \cdot 2 (x \cdot x) + 1 \cdot - 1) + \frac{3}{(2 x + 1) (2 x - 1)} ((2 x + 1) (2 x - 1)) = 0 ((2 x + 1) (2 x - 1))$

Étape 3.2.1.3.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$- (2 \cdot 2 x^{2} + 1 \cdot - 1) + \frac{3}{(2 x + 1) (2 x - 1)} ((2 x + 1) (2 x - 1)) = 0 ((2 x + 1) (2 x - 1))$

Étape 3.2.1.3.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$- (4 x^{2} + 1 \cdot - 1) + \frac{3}{(2 x + 1) (2 x - 1)} ((2 x + 1) (2 x - 1)) = 0 ((2 x + 1) (2 x - 1))$

Étape 3.2.1.3.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- (4 x^{2} - 1) + \frac{3}{(2 x + 1) (2 x - 1)} ((2 x + 1) (2 x - 1)) = 0 ((2 x + 1) (2 x - 1))$

Étape 3.2.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$- (4 x^{2}) - - 1 + \frac{3}{(2 x + 1) (2 x - 1)} ((2 x + 1) (2 x - 1)) = 0 ((2 x + 1) (2 x - 1))$

Étape 3.2.1.5

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$- 4 x^{2} - - 1 + \frac{3}{(2 x + 1) (2 x - 1)} ((2 x + 1) (2 x - 1)) = 0 ((2 x + 1) (2 x - 1))$

Étape 3.2.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- 4 x^{2} + 1 + \frac{3}{(2 x + 1) (2 x - 1)} ((2 x + 1) (2 x - 1)) = 0 ((2 x + 1) (2 x - 1))$

Étape 3.2.1.7

Annulez le facteur commun de $(2 x + 1) (2 x - 1)$ .

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Étape 3.2.1.7.1

Annulez le facteur commun.

$- 4 x^{2} + 1 + \frac{3}{(2 x + 1) (2 x - 1)} ((2 x + 1) (2 x - 1)) = 0 ((2 x + 1) (2 x - 1))$

Étape 3.2.1.7.2

Réécrivez l’expression.

$- 4 x^{2} + 1 + 3 = 0 ((2 x + 1) (2 x - 1))$

Étape 3.2.2

Additionnez $1$ et $3$ .

$- 4 x^{2} + 4 = 0 ((2 x + 1) (2 x - 1))$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Développez $(2 x + 1) (2 x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 4 x^{2} + 4 = 0 (2 x (2 x - 1) + 1 (2 x - 1))$

Étape 3.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$- 4 x^{2} + 4 = 0 (2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 + 1 (2 x - 1))$

Étape 3.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$- 4 x^{2} + 4 = 0 (2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 1)$

Étape 3.3.2

Simplifiez les termes.

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Étape 3.3.2.1

Associez les termes opposés dans $2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 1$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $2 x \cdot - 1$ et $1 (2 x)$ .

$- 4 x^{2} + 4 = 0 (2 x (2 x) - 1 \cdot 2 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1)$

Étape 3.3.2.1.2

Additionnez $- 1 \cdot 2 x$ et $1 \cdot 2 x$ .

$- 4 x^{2} + 4 = 0 (2 x (2 x) + 0 + 1 \cdot - 1)$

Étape 3.3.2.1.3

Additionnez $2 x (2 x)$ et $0$ .

$- 4 x^{2} + 4 = 0 (2 x (2 x) + 1 \cdot - 1)$

Étape 3.3.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.2.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- 4 x^{2} + 4 = 0 (2 \cdot 2 x \cdot x + 1 \cdot - 1)$

Étape 3.3.2.2.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.3.2.2.2.1

Déplacez $x$ .

$- 4 x^{2} + 4 = 0 (2 \cdot 2 (x \cdot x) + 1 \cdot - 1)$

Étape 3.3.2.2.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$- 4 x^{2} + 4 = 0 (2 \cdot 2 x^{2} + 1 \cdot - 1)$

Étape 3.3.2.2.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$- 4 x^{2} + 4 = 0 (4 x^{2} + 1 \cdot - 1)$

Étape 3.3.2.2.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 4 x^{2} + 4 = 0 (4 x^{2} - 1)$

Étape 3.3.2.3

Multipliez $0$ par $4 x^{2} - 1$ .

$- 4 x^{2} + 4 = 0$

Étape 4

Résolvez l’équation.

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Étape 4.1

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$- 4 x^{2} = - 4$

Étape 4.2

Divisez chaque terme dans $- 4 x^{2} = - 4$ par $- 4$ et simplifiez.

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Étape 4.2.1

Divisez chaque terme dans $- 4 x^{2} = - 4$ par $- 4$ .

$\frac{- 4 x^{2}}{- 4} = \frac{- 4}{- 4}$

Étape 4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 4$ .

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Étape 4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 4 x^{2}}{- 4} = \frac{- 4}{- 4}$

Étape 4.2.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{- 4}{- 4}$

Étape 4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.3.1

Divisez $- 4$ par $- 4$ .

$x^{2} = 1$

Étape 4.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{1}$

Étape 4.4

Toute racine de $1$ est $1$ .

$x = \pm 1$

Étape 4.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 4.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 1$

Étape 4.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 1$

Étape 4.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 1, - 1$