Algèbre Exemples

$\frac{{(x^{5} y z^{4})}^{3}}{x^{3} y z} = x^{a} y^{b} z^{c}$

Étape 1

Réécrivez l’équation comme $x^{a} y^{b} z^{c} = \frac{{(x^{5} y z^{4})}^{3}}{x^{3} y z}$ .

$x^{a} y^{b} z^{c} = \frac{{(x^{5} y z^{4})}^{3}}{x^{3} y z}$

Étape 2

Divisez chaque terme dans $x^{a} y^{b} z^{c} = \frac{{(x^{5} y z^{4})}^{3}}{x^{3} y z}$ par $y^{b} z^{c}$ et simplifiez.

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Étape 2.1

Divisez chaque terme dans $x^{a} y^{b} z^{c} = \frac{{(x^{5} y z^{4})}^{3}}{x^{3} y z}$ par $y^{b} z^{c}$ .

$\frac{x^{a} y^{b} z^{c}}{y^{b} z^{c}} = \frac{\frac{{(x^{5} y z^{4})}^{3}}{x^{3} y z}}{y^{b} z^{c}}$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun de $y^{b}$ .

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Étape 2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{a} y^{b} z^{c}}{y^{b} z^{c}} = \frac{\frac{{(x^{5} y z^{4})}^{3}}{x^{3} y z}}{y^{b} z^{c}}$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{a} z^{c}}{z^{c}} = \frac{\frac{{(x^{5} y z^{4})}^{3}}{x^{3} y z}}{y^{b} z^{c}}$

Étape 2.2.2

Annulez le facteur commun de $z^{c}$ .

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Étape 2.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{a} z^{c}}{z^{c}} = \frac{\frac{{(x^{5} y z^{4})}^{3}}{x^{3} y z}}{y^{b} z^{c}}$

Étape 2.2.2.2

Divisez $x^{a}$ par $1$ .

$x^{a} = \frac{\frac{{(x^{5} y z^{4})}^{3}}{x^{3} y z}}{y^{b} z^{c}}$

Étape 2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x^{a} = \frac{{(x^{5} y z^{4})}^{3}}{x^{3} y z} \cdot \frac{1}{y^{b} z^{c}}$

Étape 2.3.2

Associez.

$x^{a} = \frac{{(x^{5} y z^{4})}^{3} \cdot 1}{x^{3} y z (y^{b} z^{c})}$

Étape 2.3.3

Multipliez $y$ par $y^{b}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.3.3.1

Déplacez $y^{b}$ .

$x^{a} = \frac{{(x^{5} y z^{4})}^{3} \cdot 1}{x^{3} (y^{b} y) z \cdot z^{c}}$

Étape 2.3.3.2

Multipliez $y^{b}$ par $y$ .

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Étape 2.3.3.2.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$x^{a} = \frac{{(x^{5} y z^{4})}^{3} \cdot 1}{x^{3} (y^{b} y^{1}) z \cdot z^{c}}$

Étape 2.3.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{a} = \frac{{(x^{5} y z^{4})}^{3} \cdot 1}{x^{3} y^{b + 1} z \cdot z^{c}}$

Étape 2.3.4

Multipliez $z$ par $z^{c}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.3.4.1

Déplacez $z^{c}$ .

$x^{a} = \frac{{(x^{5} y z^{4})}^{3} \cdot 1}{x^{3} y^{b + 1} (z^{c} z)}$

Étape 2.3.4.2

Multipliez $z^{c}$ par $z$ .

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Étape 2.3.4.2.1

Élevez $z$ à la puissance $1$ .

$x^{a} = \frac{{(x^{5} y z^{4})}^{3} \cdot 1}{x^{3} y^{b + 1} (z^{c} z^{1})}$

Étape 2.3.4.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{a} = \frac{{(x^{5} y z^{4})}^{3} \cdot 1}{x^{3} y^{b + 1} z^{c + 1}}$

Étape 2.3.5

Multipliez ${(x^{5} y z^{4})}^{3}$ par $1$ .

$x^{a} = \frac{{(x^{5} y z^{4})}^{3}}{x^{3} y^{b + 1} z^{c + 1}}$

Étape 2.3.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.6.1

Appliquez la règle de produit à $x^{5} y z^{4}$ .

$x^{a} = \frac{{(x^{5} y)}^{3} {(z^{4})}^{3}}{x^{3} y^{b + 1} z^{c + 1}}$

Étape 2.3.6.2

Appliquez la règle de produit à $x^{5} y$ .

$x^{a} = \frac{{(x^{5})}^{3} y^{3} {(z^{4})}^{3}}{x^{3} y^{b + 1} z^{c + 1}}$

Étape 2.3.6.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{5})}^{3}$ .

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Étape 2.3.6.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{a} = \frac{x^{5 \cdot 3} y^{3} {(z^{4})}^{3}}{x^{3} y^{b + 1} z^{c + 1}}$

Étape 2.3.6.3.2

Multipliez $5$ par $3$ .

$x^{a} = \frac{x^{15} y^{3} {(z^{4})}^{3}}{x^{3} y^{b + 1} z^{c + 1}}$

Étape 2.3.6.4

Multipliez les exposants dans ${(z^{4})}^{3}$ .

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Étape 2.3.6.4.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{a} = \frac{x^{15} y^{3} z^{4 \cdot 3}}{x^{3} y^{b + 1} z^{c + 1}}$

Étape 2.3.6.4.2

Multipliez $4$ par $3$ .

$x^{a} = \frac{x^{15} y^{3} z^{12}}{x^{3} y^{b + 1} z^{c + 1}}$

Étape 2.3.7

Simplifiez les termes.

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Étape 2.3.7.1

Annulez le facteur commun à $x^{15}$ et $x^{3}$ .

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Étape 2.3.7.1.1

Factorisez $x^{3}$ à partir de $x^{15} y^{3} z^{12}$ .

$x^{a} = \frac{x^{3} (x^{12} y^{3} z^{12})}{x^{3} y^{b + 1} z^{c + 1}}$

Étape 2.3.7.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.7.1.2.1

Factorisez $x^{3}$ à partir de $x^{3} y^{b + 1} z^{c + 1}$ .

$x^{a} = \frac{x^{3} (x^{12} y^{3} z^{12})}{x^{3} (y^{b + 1} z^{c + 1})}$

Étape 2.3.7.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$x^{a} = \frac{x^{3} (x^{12} y^{3} z^{12})}{x^{3} (y^{b + 1} z^{c + 1})}$

Étape 2.3.7.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x^{a} = \frac{x^{12} y^{3} z^{12}}{y^{b + 1} z^{c + 1}}$

Étape 2.3.7.2

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 2.3.7.2.1

Annulez le facteur commun à $y^{3}$ et $y^{b + 1}$ .

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Étape 2.3.7.2.1.1

Factorisez $y^{b + 1}$ à partir de $x^{12} y^{3} z^{12}$ .

$x^{a} = \frac{y^{b + 1} (x^{12} y^{3 - (b + 1)} z^{12})}{y^{b + 1} z^{c + 1}}$

Étape 2.3.7.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.7.2.1.2.1

Factorisez $y^{b + 1}$ à partir de $y^{b + 1} z^{c + 1}$ .

$x^{a} = \frac{y^{b + 1} (x^{12} y^{3 - (b + 1)} z^{12})}{y^{b + 1} (z^{c + 1})}$

Étape 2.3.7.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$x^{a} = \frac{y^{b + 1} (x^{12} y^{3 - (b + 1)} z^{12})}{y^{b + 1} z^{c + 1}}$

Étape 2.3.7.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x^{a} = \frac{x^{12} y^{3 - (b + 1)} z^{12}}{z^{c + 1}}$

Étape 2.3.7.2.2

Annulez le facteur commun à $z^{12}$ et $z^{c + 1}$ .

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Étape 2.3.7.2.2.1

Factorisez $z^{c + 1}$ à partir de $x^{12} y^{3 - (b + 1)} z^{12}$ .

$x^{a} = \frac{z^{c + 1} (x^{12} y^{3 - (b + 1)} z^{12 - (c + 1)})}{z^{c + 1}}$

Étape 2.3.7.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.7.2.2.2.1

Multipliez par $1$ .

$x^{a} = \frac{z^{c + 1} (x^{12} y^{3 - (b + 1)} z^{12 - (c + 1)})}{z^{c + 1} \cdot 1}$

Étape 2.3.7.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$x^{a} = \frac{z^{c + 1} (x^{12} y^{3 - (b + 1)} z^{12 - (c + 1)})}{z^{c + 1} \cdot 1}$

Étape 2.3.7.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$x^{a} = \frac{x^{12} y^{3 - (b + 1)} z^{12 - (c + 1)}}{1}$

Étape 2.3.7.2.2.2.4

Divisez $x^{12} y^{3 - (b + 1)} z^{12 - (c + 1)}$ par $1$ .

$x^{a} = x^{12} y^{3 - (b + 1)} z^{12 - (c + 1)}$

Étape 2.3.7.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.7.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$x^{a} = x^{12} y^{3 - b - 1 \cdot 1} z^{12 - (c + 1)}$

Étape 2.3.7.3.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$x^{a} = x^{12} y^{3 - b - 1} z^{12 - (c + 1)}$

Étape 2.3.7.4

Soustrayez $1$ de $3$ .

$x^{a} = x^{12} y^{- b + 2} z^{12 - (c + 1)}$

Étape 2.3.7.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.7.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$x^{a} = x^{12} y^{- b + 2} z^{12 - c - 1 \cdot 1}$

Étape 2.3.7.5.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$x^{a} = x^{12} y^{- b + 2} z^{12 - c - 1}$

Étape 2.3.7.6

Soustrayez $1$ de $12$ .

$x^{a} = x^{12} y^{- b + 2} z^{- c + 11}$

Étape 3

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (x^{a}) = \ln (x^{12} y^{- b + 2} z^{- c + 11})$

Étape 4

Développez $\ln (x^{a})$ en déplaçant $a$ hors du logarithme.

$a \ln (x) = \ln (x^{12} y^{- b + 2} z^{- c + 11})$

Étape 5

Développez le côté droit.

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Étape 5.1

Réécrivez $\ln (x^{12} y^{- b + 2} z^{- c + 11})$ comme $\ln (x^{12} y^{- b + 2}) + \ln (z^{- c + 11})$ .

$a \ln (x) = \ln (x^{12} y^{- b + 2}) + \ln (z^{- c + 11})$

Étape 5.2

Réécrivez $\ln (x^{12} y^{- b + 2})$ comme $\ln (x^{12}) + \ln (y^{- b + 2})$ .

$a \ln (x) = \ln (x^{12}) + \ln (y^{- b + 2}) + \ln (z^{- c + 11})$

Étape 5.3

Développez $\ln (x^{12})$ en déplaçant $12$ hors du logarithme.

$a \ln (x) = 12 \ln (x) + \ln (y^{- b + 2}) + \ln (z^{- c + 11})$

Étape 5.4

Développez $\ln (y^{- b + 2})$ en déplaçant $- b + 2$ hors du logarithme.

$a \ln (x) = 12 \ln (x) + (- b + 2) \ln (y) + \ln (z^{- c + 11})$

Étape 5.5

Développez $\ln (z^{- c + 11})$ en déplaçant $- c + 11$ hors du logarithme.

$a \ln (x) = 12 \ln (x) + (- b + 2) \ln (y) + (- c + 11) \ln (z)$

Étape 6

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$a \ln (x) = 12 \ln (x) - b \ln (y) + 2 \ln (y) + (- c + 11) \ln (z)$

Étape 6.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$a \ln (x) = 12 \ln (x) - b \ln (y) + 2 \ln (y) - c \ln (z) + 11 \ln (z)$

Étape 7

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$a \ln (x) - 12 \ln (x) + b \ln (y) - 2 \ln (y) + c \ln (z) - 11 \ln (z) = 0$

Étape 8

Déplacez tous les termes ne contenant pas $a$ du côté droit de l’équation.

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Étape 8.1

Ajoutez $12 \ln (x)$ aux deux côtés de l’équation.

$a \ln (x) + b \ln (y) - 2 \ln (y) + c \ln (z) - 11 \ln (z) = 12 \ln (x)$

Étape 8.2

Soustrayez $b \ln (y)$ des deux côtés de l’équation.

$a \ln (x) - 2 \ln (y) + c \ln (z) - 11 \ln (z) = 12 \ln (x) - b \ln (y)$

Étape 8.3

Ajoutez $2 \ln (y)$ aux deux côtés de l’équation.

$a \ln (x) + c \ln (z) - 11 \ln (z) = 12 \ln (x) - b \ln (y) + 2 \ln (y)$

Étape 8.4

Soustrayez $c \ln (z)$ des deux côtés de l’équation.

$a \ln (x) - 11 \ln (z) = 12 \ln (x) - b \ln (y) + 2 \ln (y) - c \ln (z)$

Étape 8.5

Ajoutez $11 \ln (z)$ aux deux côtés de l’équation.

$a \ln (x) = 12 \ln (x) - b \ln (y) + 2 \ln (y) - c \ln (z) + 11 \ln (z)$

Étape 9

Divisez chaque terme dans $a \ln (x) = 12 \ln (x) - b \ln (y) + 2 \ln (y) - c \ln (z) + 11 \ln (z)$ par $\ln (x)$ et simplifiez.

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Étape 9.1

Divisez chaque terme dans $a \ln (x) = 12 \ln (x) - b \ln (y) + 2 \ln (y) - c \ln (z) + 11 \ln (z)$ par $\ln (x)$ .

$\frac{a \ln (x)}{\ln (x)} = \frac{12 \ln (x)}{\ln (x)} + \frac{- b \ln (y)}{\ln (x)} + \frac{2 \ln (y)}{\ln (x)} + \frac{- c \ln (z)}{\ln (x)} + \frac{11 \ln (z)}{\ln (x)}$

Étape 9.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 9.2.1

Annulez le facteur commun de $\ln (x)$ .

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Étape 9.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{a \ln (x)}{\ln (x)} = \frac{12 \ln (x)}{\ln (x)} + \frac{- b \ln (y)}{\ln (x)} + \frac{2 \ln (y)}{\ln (x)} + \frac{- c \ln (z)}{\ln (x)} + \frac{11 \ln (z)}{\ln (x)}$

Étape 9.2.1.2

Divisez $a$ par $1$ .

$a = \frac{12 \ln (x)}{\ln (x)} + \frac{- b \ln (y)}{\ln (x)} + \frac{2 \ln (y)}{\ln (x)} + \frac{- c \ln (z)}{\ln (x)} + \frac{11 \ln (z)}{\ln (x)}$

Étape 9.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 9.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.3.1.1

Annulez le facteur commun de $\ln (x)$ .

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Étape 9.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$a = \frac{12 \ln (x)}{\ln (x)} + \frac{- b \ln (y)}{\ln (x)} + \frac{2 \ln (y)}{\ln (x)} + \frac{- c \ln (z)}{\ln (x)} + \frac{11 \ln (z)}{\ln (x)}$

Étape 9.3.1.1.2

Divisez $12$ par $1$ .

$a = 12 + \frac{- b \ln (y)}{\ln (x)} + \frac{2 \ln (y)}{\ln (x)} + \frac{- c \ln (z)}{\ln (x)} + \frac{11 \ln (z)}{\ln (x)}$

Étape 9.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$a = 12 - \frac{b \ln (y)}{\ln (x)} + \frac{2 \ln (y)}{\ln (x)} + \frac{- c \ln (z)}{\ln (x)} + \frac{11 \ln (z)}{\ln (x)}$

Étape 9.3.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$a = 12 - \frac{b \ln (y)}{\ln (x)} + \frac{2 \ln (y)}{\ln (x)} - \frac{c \ln (z)}{\ln (x)} + \frac{11 \ln (z)}{\ln (x)}$