Algèbre Exemples

$\sqrt{x^{2} - 2 x} < \sqrt{3 x + 6}$

Étape 1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’inégalité, élevez au carré les deux côtés de l’inégalité.

${\sqrt{x^{2} - 2 x}}^{2} < {\sqrt{3 x + 6}}^{2}$

Étape 2

Simplifiez chaque côté de l’inégalité.

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Étape 2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x^{2} - 2 x}$ comme ${(x^{2} - 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(x^{2} - 2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} < {\sqrt{3 x + 6}}^{2}$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Simplifiez ${({(x^{2} - 2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(x^{2} - 2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x^{2} - 2 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} < {\sqrt{3 x + 6}}^{2}$

Étape 2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(x^{2} - 2 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} < {\sqrt{3 x + 6}}^{2}$

Étape 2.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(x^{2} - 2 x)}^{1} < {\sqrt{3 x + 6}}^{2}$

Étape 2.2.1.2

Simplifiez

$x^{2} - 2 x < {\sqrt{3 x + 6}}^{2}$

Étape 2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Simplifiez ${\sqrt{3 x + 6}}^{2}$ .

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Étape 2.3.1.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x + 6$ .

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Étape 2.3.1.1.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x$ .

$x^{2} - 2 x < {\sqrt{3 (x) + 6}}^{2}$

Étape 2.3.1.1.2

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$x^{2} - 2 x < {\sqrt{3 x + 3 \cdot 2}}^{2}$

Étape 2.3.1.1.3

Factorisez $3$ à partir de $3 x + 3 \cdot 2$ .

$x^{2} - 2 x < {\sqrt{3 (x + 2)}}^{2}$

Étape 2.3.1.2

Réécrivez ${\sqrt{3 (x + 2)}}^{2}$ comme $3 (x + 2)$ .

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Étape 2.3.1.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3 (x + 2)}$ comme ${(3 (x + 2))}^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{2} - 2 x < {({(3 (x + 2))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Étape 2.3.1.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{2} - 2 x < {(3 (x + 2))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Étape 2.3.1.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$x^{2} - 2 x < {(3 (x + 2))}^{\frac{2}{2}}$

Étape 2.3.1.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.1.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$x^{2} - 2 x < {(3 (x + 2))}^{\frac{2}{2}}$

Étape 2.3.1.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$x^{2} - 2 x < {(3 (x + 2))}^{1}$

Étape 2.3.1.2.5

Simplifiez

$x^{2} - 2 x < 3 (x + 2)$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} - 2 x < 3 x + 3 \cdot 2$

Étape 2.3.1.4

Multipliez $3$ par $2$ .

$x^{2} - 2 x < 3 x + 6$

Étape 3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’inégalité.

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Étape 3.1.1

Soustrayez $3 x$ des deux côtés de l’inégalité.

$x^{2} - 2 x - 3 x < 6$

Étape 3.1.2

Soustrayez $3 x$ de $- 2 x$ .

$x^{2} - 5 x < 6$

Étape 3.2

Convertissez l’inégalité en une équation.

$x^{2} - 5 x = 6$

Étape 3.3

Soustrayez $6$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} - 5 x - 6 = 0$

Étape 3.4

Factorisez $x^{2} - 5 x - 6$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.4.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 6$ et dont la somme est $- 5$ .

$- 6, 1$

Étape 3.4.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x - 6) (x + 1) = 0$

Étape 3.5

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 6 = 0$

$x + 1 = 0$

Étape 3.6

Définissez $x - 6$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.6.1

Définissez $x - 6$ égal à $0$ .

$x - 6 = 0$

Étape 3.6.2

Ajoutez $6$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 6$

Étape 3.7

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.7.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 3.7.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 3.8

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 6) (x + 1) = 0$ vraie.

$x = 6, - 1$

Étape 4

Déterminez le domaine de $\sqrt{x (x - 2)} - \sqrt{3 (x + 2)}$ .

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Étape 4.1

Définissez le radicande dans $\sqrt{x (x - 2)}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$x (x - 2) \geq 0$

Étape 4.2

Résolvez $x$ .

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Étape 4.2.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x - 2 = 0$

Étape 4.2.2

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 4.2.3

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.2.3.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 4.2.3.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 4.2.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x (x - 2) \geq 0$ vraie.

$x = 0, 2$

Étape 4.2.5

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < 0$

$0 < x < 2$

$x > 2$

Étape 4.2.6

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 4.2.6.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.6.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 2$

Étape 4.2.6.1.2

Remplacez $x$ par $- 2$ dans l’inégalité d’origine.

$(- 2) ((- 2) - 2) \geq 0$

Étape 4.2.6.1.3

Le côté gauche $8$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 4.2.6.2

Testez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 4.2.6.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 1$

Étape 4.2.6.2.2

Remplacez $x$ par $1$ dans l’inégalité d’origine.

$(1) ((1) - 2) \geq 0$

Étape 4.2.6.2.3

Le côté gauche $- 1$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 4.2.6.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 4.2.6.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Étape 4.2.6.3.2

Remplacez $x$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

$(4) ((4) - 2) \geq 0$

Étape 4.2.6.3.3

Le côté gauche $8$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 4.2.6.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < 0$ Vrai

$0 < x < 2$ Faux

$x > 2$ Vrai

$x < 0$ Vrai

$0 < x < 2$ Faux

$x > 2$ Vrai

Étape 4.2.7

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x \leq 0$ ou $x \geq 2$

Étape 4.3

Définissez le radicande dans $\sqrt{3 (x + 2)}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$3 (x + 2) \geq 0$

Étape 4.4

Résolvez $x$ .

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Étape 4.4.1

Divisez chaque terme dans $3 (x + 2) \geq 0$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 4.4.1.1

Divisez chaque terme dans $3 (x + 2) \geq 0$ par $3$ .

$\frac{3 (x + 2)}{3} \geq \frac{0}{3}$

Étape 4.4.1.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.1.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 (x + 2)}{3} \geq \frac{0}{3}$

Étape 4.4.1.2.1.2

Divisez $x + 2$ par $1$ .

$x + 2 \geq \frac{0}{3}$

Étape 4.4.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.4.1.3.1

Divisez $0$ par $3$ .

$x + 2 \geq 0$

Étape 4.4.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’inégalité.

$x \geq - 2$

Étape 4.5

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$[- 2, 0] \cup [2, \infty)$

Étape 5

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 2$

$- 2 < x < - 1$

$- 1 < x < 0$

$0 < x < 2$

$2 < x < 6$

$x > 6$

Étape 6

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 4$

Étape 6.1.2

Remplacez $x$ par $- 4$ dans l’inégalité d’origine.

$\sqrt{{(- 4)}^{2} - 2 \cdot - 4} < \sqrt{3 (- 4) + 6}$

Étape 6.1.3

Le côté gauche n’est pas égal au côté droit, ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 6.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 2 < x < - 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 2 < x < - 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 1.5$

Étape 6.2.2

Remplacez $x$ par $- 1.5$ dans l’inégalité d’origine.

$\sqrt{{(- 1.5)}^{2} - 2 \cdot - 1.5} < \sqrt{3 (- 1.5) + 6}$

Étape 6.2.3

Le côté gauche $2.29128784$ n’est pas inférieur au côté droit $1.22474487$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 6.3

Testez une valeur sur l’intervalle $- 1 < x < 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 6.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 1 < x < 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 0.5$

Étape 6.3.2

Remplacez $x$ par $- 0.5$ dans l’inégalité d’origine.

$\sqrt{{(- 0.5)}^{2} - 2 \cdot - 0.5} < \sqrt{3 (- 0.5) + 6}$

Étape 6.3.3

Le côté gauche $1.11803398$ est inférieur au côté droit $2.12132034$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 6.4

Testez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 1$

Étape 6.4.2

Remplacez $x$ par $1$ dans l’inégalité d’origine.

$\sqrt{{(1)}^{2} - 2 \cdot 1} < \sqrt{3 (1) + 6}$

Étape 6.4.3

Le côté gauche n’est pas égal au côté droit, ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 6.5

Testez une valeur sur l’intervalle $2 < x < 6$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $2 < x < 6$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Étape 6.5.2

Remplacez $x$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

$\sqrt{{(4)}^{2} - 2 \cdot 4} < \sqrt{3 (4) + 6}$

Étape 6.5.3

Le côté gauche $2.82842712$ est inférieur au côté droit $4.24264068$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 6.6

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 6$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.6.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 6$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 8$

Étape 6.6.2

Remplacez $x$ par $8$ dans l’inégalité d’origine.

$\sqrt{{(8)}^{2} - 2 \cdot 8} < \sqrt{3 (8) + 6}$

Étape 6.6.3

Le côté gauche $6.92820323$ n’est pas inférieur au côté droit $5.47722557$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 6.7

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 2$ Faux

$- 2 < x < - 1$ Faux

$- 1 < x < 0$ Vrai

$0 < x < 2$ Faux

$2 < x < 6$ Vrai

$x > 6$ Faux

$x < - 2$ Faux

$- 2 < x < - 1$ Faux

$- 1 < x < 0$ Vrai

$0 < x < 2$ Faux

$2 < x < 6$ Vrai

$x > 6$ Faux

Étape 7

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$- 1 < x < 0$ ou $2 < x < 6$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$- 1 < x < 0 or 2 < x < 6$

Notation d’intervalle :

$(- 1, 0) \cup (2, 6)$

Étape 9