Algèbre Exemples

$\frac{k^{10} + 9 k^{5} + 18}{k^{10} + 6 k^{5} + 9}$

Étape 1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1

Réécrivez $k^{10}$ comme ${(k^{5})}^{2}$ .

$\frac{{(k^{5})}^{2} + 9 k^{5} + 18}{k^{10} + 6 k^{5} + 9}$

Étape 1.2

Laissez $u = k^{5}$ . Remplacez toutes les occurrences de $k^{5}$ par $u$ .

$\frac{u^{2} + 9 u + 18}{k^{10} + 6 k^{5} + 9}$

Étape 1.3

Factorisez $u^{2} + 9 u + 18$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.3.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $18$ et dont la somme est $9$ .

$3, 6$

Étape 1.3.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(u + 3) (u + 6)}{k^{10} + 6 k^{5} + 9}$

Étape 1.4

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $k^{5}$ .

$\frac{(k^{5} + 3) (k^{5} + 6)}{k^{10} + 6 k^{5} + 9}$

Étape 2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1

Réécrivez $k^{10}$ comme ${(k^{5})}^{2}$ .

$\frac{(k^{5} + 3) (k^{5} + 6)}{{(k^{5})}^{2} + 6 k^{5} + 9}$

Étape 2.2

Laissez $u = k^{5}$ . Remplacez toutes les occurrences de $k^{5}$ par $u$ .

$\frac{(k^{5} + 3) (k^{5} + 6)}{u^{2} + 6 u + 9}$

Étape 2.3

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 2.3.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{(k^{5} + 3) (k^{5} + 6)}{u^{2} + 6 u + 3^{2}}$

Étape 2.3.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$6 u = 2 \cdot u \cdot 3$

Étape 2.3.3

Réécrivez le polynôme.

$\frac{(k^{5} + 3) (k^{5} + 6)}{u^{2} + 2 \cdot u \cdot 3 + 3^{2}}$

Étape 2.3.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = u$ et $b = 3$ .

$\frac{(k^{5} + 3) (k^{5} + 6)}{{(u + 3)}^{2}}$

Étape 2.4

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $k^{5}$ .

$\frac{(k^{5} + 3) (k^{5} + 6)}{{(k^{5} + 3)}^{2}}$

Étape 3

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.1

Factorisez $k^{5} + 3$ à partir de ${(k^{5} + 3)}^{2}$ .

$\frac{(k^{5} + 3) (k^{5} + 6)}{(k^{5} + 3) (k^{5} + 3)}$

Étape 3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(k^{5} + 3) (k^{5} + 6)}{(k^{5} + 3) (k^{5} + 3)}$

Étape 3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{k^{5} + 6}{k^{5} + 3}$