Algèbre Exemples

$f (- x) = \frac{x}{x^{2} + 1}$

Étape 1

Factorisez chaque terme.

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Étape 1.1

Supprimez les parenthèses inutiles.

$f \cdot - 1 x = \frac{x}{x^{2} + 1}$

Étape 1.2

Factorisez.

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Étape 1.2.1

Factorisez le signe négatif.

$- (f x) = \frac{x}{x^{2} + 1}$

Étape 1.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- f x = \frac{x}{x^{2} + 1}$

Étape 2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$1, x^{2} + 1$

Étape 2.2

Supprimez les parenthèses.

$1, x^{2} + 1$

Étape 2.3

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$x^{2} + 1$

Étape 3

Multiplier chaque terme dans $- f x = \frac{x}{x^{2} + 1}$ par $x^{2} + 1$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.1

Multipliez chaque terme dans $- f x = \frac{x}{x^{2} + 1}$ par $x^{2} + 1$ .

$- f x (x^{2} + 1) = \frac{x}{x^{2} + 1} (x^{2} + 1)$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$- f x \cdot x^{2} - f x \cdot 1 = \frac{x}{x^{2} + 1} (x^{2} + 1)$

Étape 3.2.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.2.2.1

Déplacez $x^{2}$ .

$- f (x^{2} x) - f x \cdot 1 = \frac{x}{x^{2} + 1} (x^{2} + 1)$

Étape 3.2.2.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 3.2.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- f (x^{2} x^{1}) - f x \cdot 1 = \frac{x}{x^{2} + 1} (x^{2} + 1)$

Étape 3.2.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- f x^{2 + 1} - f x \cdot 1 = \frac{x}{x^{2} + 1} (x^{2} + 1)$

Étape 3.2.2.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$- f x^{3} - f x \cdot 1 = \frac{x}{x^{2} + 1} (x^{2} + 1)$

Étape 3.2.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- f x^{3} - f x = \frac{x}{x^{2} + 1} (x^{2} + 1)$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Annulez le facteur commun de $x^{2} + 1$ .

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Étape 3.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$- f x^{3} - f x = \frac{x}{x^{2} + 1} (x^{2} + 1)$

Étape 3.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$- f x^{3} - f x = x$

Étape 4

Résolvez l’équation.

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Étape 4.1

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$- f x^{3} - f x - x = 0$

Étape 4.2

Factorisez $x$ à partir de $- f x^{3} - f x - x$ .

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Étape 4.2.1

Factorisez $x$ à partir de $- f x^{3}$ .

$x (- f x^{2}) - f x - x = 0$

Étape 4.2.2

Factorisez $x$ à partir de $- f x$ .

$x (- f x^{2}) + x (- f) - x = 0$

Étape 4.2.3

Factorisez $x$ à partir de $- x$ .

$x (- f x^{2}) + x (- f) + x \cdot - 1 = 0$

Étape 4.2.4

Factorisez $x$ à partir de $x (- f x^{2}) + x (- f)$ .

$x (- f x^{2} - f) + x \cdot - 1 = 0$

Étape 4.2.5

Factorisez $x$ à partir de $x (- f x^{2} - f) + x \cdot - 1$ .

$x (- f x^{2} - f - 1) = 0$

Étape 4.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$- f x^{2} - f - 1 = 0$

Étape 4.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 4.5

Définissez $- f x^{2} - f - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.5.1

Définissez $- f x^{2} - f - 1$ égal à $0$ .

$- f x^{2} - f - 1 = 0$

Étape 4.5.2

Résolvez $- f x^{2} - f - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.5.2.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 4.5.2.1.1

Ajoutez $f$ aux deux côtés de l’équation.

$- f x^{2} - 1 = f$

Étape 4.5.2.1.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$- f x^{2} = f + 1$

Étape 4.5.2.2

Divisez chaque terme dans $- f x^{2} = f + 1$ par $- f$ et simplifiez.

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Étape 4.5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- f x^{2} = f + 1$ par $- f$ .

$\frac{- f x^{2}}{- f} = \frac{f}{- f} + \frac{1}{- f}$

Étape 4.5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.5.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{f x^{2}}{f} = \frac{f}{- f} + \frac{1}{- f}$

Étape 4.5.2.2.2.2

Annulez le facteur commun de $f$ .

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Étape 4.5.2.2.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{f x^{2}}{f} = \frac{f}{- f} + \frac{1}{- f}$

Étape 4.5.2.2.2.2.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{f}{- f} + \frac{1}{- f}$

Étape 4.5.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.5.2.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.5.2.2.3.1.1

Annulez le facteur commun de $f$ .

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Étape 4.5.2.2.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$x^{2} = \frac{f}{- f} + \frac{1}{- f}$

Étape 4.5.2.2.3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$x^{2} = \frac{1}{- 1} + \frac{1}{- f}$

Étape 4.5.2.2.3.1.1.3

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{1}{- 1}$ .

$x^{2} = - 1 \cdot 1 + \frac{1}{- f}$

Étape 4.5.2.2.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$x^{2} = - 1 + \frac{1}{- f}$

Étape 4.5.2.2.3.1.3

Annulez le facteur commun à $1$ et $- 1$ .

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Étape 4.5.2.2.3.1.3.1

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$x^{2} = - 1 + \frac{- 1 (- 1)}{- f}$

Étape 4.5.2.2.3.1.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$x^{2} = - 1 - \frac{1}{f}$

Étape 4.5.2.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{- 1 - \frac{1}{f}}$

Étape 4.5.2.4

Simplifiez $\pm \sqrt{- 1 - \frac{1}{f}}$ .

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Étape 4.5.2.4.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 - \frac{1}{f}$ .

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Étape 4.5.2.4.1.1

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (1) - \frac{1}{f}}$

Étape 4.5.2.4.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- \frac{1}{f}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (1) - (\frac{1}{f})}$

Étape 4.5.2.4.1.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - (\frac{1}{f})$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (1 + \frac{1}{f})}$

Étape 4.5.2.4.1.4

Réécrivez $- 1 (1 + \frac{1}{f})$ comme $- (1 + \frac{1}{f})$ .

$x = \pm \sqrt{- (1 + \frac{1}{f})}$

Étape 4.5.2.4.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$x = \pm \sqrt{- (\frac{f}{f} + \frac{1}{f})}$

Étape 4.5.2.4.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \pm \sqrt{- \frac{f + 1}{f}}$

Étape 4.5.2.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 4.5.2.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \sqrt{- \frac{f + 1}{f}}$

Étape 4.5.2.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \sqrt{- \frac{f + 1}{f}}$

Étape 4.5.2.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \sqrt{- \frac{f + 1}{f}}$

$x = - \sqrt{- \frac{f + 1}{f}}$

$x = \sqrt{- \frac{f + 1}{f}}$

$x = - \sqrt{- \frac{f + 1}{f}}$

$x = \sqrt{- \frac{f + 1}{f}}$

$x = - \sqrt{- \frac{f + 1}{f}}$

$x = \sqrt{- \frac{f + 1}{f}}$

$x = - \sqrt{- \frac{f + 1}{f}}$

Étape 4.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x (- f x^{2} - f - 1) = 0$ vraie.

$x = 0$

$x = \sqrt{- \frac{f + 1}{f}}$

$x = - \sqrt{- \frac{f + 1}{f}}$

$x = 0$

$x = \sqrt{- \frac{f + 1}{f}}$

$x = - \sqrt{- \frac{f + 1}{f}}$