Algèbre Exemples

${(7^{5 - x})}^{6 - x} = 49$

Étape 1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$7^{(5 - x) (6 - x)} = 49$

Étape 2

Créez des expressions équivalentes dans l’équation qui ont toutes des bases égales.

$7^{(5 - x) (6 - x)} = 7^{2}$

Étape 3

Les bases étant les mêmes, deux expressions ne sont égales que si les exposants sont également égaux.

$(5 - x) (6 - x) = 2$

Étape 4

Résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Simplifiez $(5 - x) (6 - x)$ .

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Étape 4.1.1

Développez $(5 - x) (6 - x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$5 (6 - x) - x (6 - x) = 2$

Étape 4.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$5 \cdot 6 + 5 (- x) - x (6 - x) = 2$

Étape 4.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$5 \cdot 6 + 5 (- x) - x \cdot 6 - x (- x) = 2$

Étape 4.1.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.1.1

Multipliez $5$ par $6$ .

$30 + 5 (- x) - x \cdot 6 - x (- x) = 2$

Étape 4.1.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$30 - 5 x - x \cdot 6 - x (- x) = 2$

Étape 4.1.2.1.3

Multipliez $6$ par $- 1$ .

$30 - 5 x - 6 x - x (- x) = 2$

Étape 4.1.2.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$30 - 5 x - 6 x - 1 \cdot - 1 x \cdot x = 2$

Étape 4.1.2.1.5

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1.2.1.5.1

Déplacez $x$ .

$30 - 5 x - 6 x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x) = 2$

Étape 4.1.2.1.5.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$30 - 5 x - 6 x - 1 \cdot - 1 x^{2} = 2$

Étape 4.1.2.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$30 - 5 x - 6 x + 1 x^{2} = 2$

Étape 4.1.2.1.7

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$30 - 5 x - 6 x + x^{2} = 2$

Étape 4.1.2.2

Soustrayez $6 x$ de $- 5 x$ .

$30 - 11 x + x^{2} = 2$

Étape 4.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$30 - 11 x + x^{2} - 2 = 0$

Étape 4.3

Soustrayez $2$ de $30$ .

$- 11 x + x^{2} + 28 = 0$

Étape 4.4

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 4.4.1

Laissez $u = x$ . Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $u$ .

$- 11 u + u^{2} + 28 = 0$

Étape 4.4.2

Factorisez $- 11 u + u^{2} + 28$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 4.4.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $28$ et dont la somme est $- 11$ .

$- 7, - 4$

Étape 4.4.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(u - 7) (u - 4) = 0$

Étape 4.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x$ .

$(x - 7) (x - 4) = 0$

Étape 4.5

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 7 = 0$

$x - 4 = 0$

Étape 4.6

Définissez $x - 7$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.6.1

Définissez $x - 7$ égal à $0$ .

$x - 7 = 0$

Étape 4.6.2

Ajoutez $7$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 7$

Étape 4.7

Définissez $x - 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.7.1

Définissez $x - 4$ égal à $0$ .

$x - 4 = 0$

Étape 4.7.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 4$

Étape 4.8

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 7) (x - 4) = 0$ vraie.

$x = 7, 4$