Algèbre Exemples

$\frac{\frac{5}{x - 3} - \frac{1}{x + 3}}{\frac{3}{x^{2} - 9}}$

Étape 1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$(\frac{5}{x - 3} - \frac{1}{x + 3}) \frac{x^{2} - 9}{3}$

Étape 2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$(\frac{5}{x - 3} - \frac{1}{x + 3}) \frac{x^{2} - 3^{2}}{3}$

Étape 2.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 3$ .

$(\frac{5}{x - 3} - \frac{1}{x + 3}) \frac{(x + 3) (x - 3)}{3}$

Étape 3

Pour écrire $\frac{5}{x - 3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$(\frac{5}{x - 3} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} - \frac{1}{x + 3}) \frac{(x + 3) (x - 3)}{3}$

Étape 4

Pour écrire $- \frac{1}{x + 3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$(\frac{5}{x - 3} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} - \frac{1}{x + 3} \cdot \frac{x - 3}{x - 3}) \frac{(x + 3) (x - 3)}{3}$

Étape 5

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x - 3) (x + 3)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 5.1

Multipliez $\frac{5}{x - 3}$ par $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$(\frac{5 (x + 3)}{(x - 3) (x + 3)} - \frac{1}{x + 3} \cdot \frac{x - 3}{x - 3}) \frac{(x + 3) (x - 3)}{3}$

Étape 5.2

Multipliez $\frac{1}{x + 3}$ par $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$(\frac{5 (x + 3)}{(x - 3) (x + 3)} - \frac{x - 3}{(x + 3) (x - 3)}) \frac{(x + 3) (x - 3)}{3}$

Étape 5.3

Réorganisez les facteurs de $(x - 3) (x + 3)$ .

$(\frac{5 (x + 3)}{(x + 3) (x - 3)} - \frac{x - 3}{(x + 3) (x - 3)}) \frac{(x + 3) (x - 3)}{3}$

Étape 6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{5 (x + 3) - (x - 3)}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{(x + 3) (x - 3)}{3}$

Étape 7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 x + 5 \cdot 3 - (x - 3)}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{(x + 3) (x - 3)}{3}$

Étape 7.2

Multipliez $5$ par $3$ .

$\frac{5 x + 15 - (x - 3)}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{(x + 3) (x - 3)}{3}$

Étape 7.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 x + 15 - x - - 3}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{(x + 3) (x - 3)}{3}$

Étape 7.4

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$\frac{5 x + 15 - x + 3}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{(x + 3) (x - 3)}{3}$

Étape 7.5

Soustrayez $x$ de $5 x$ .

$\frac{4 x + 15 + 3}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{(x + 3) (x - 3)}{3}$

Étape 7.6

Additionnez $15$ et $3$ .

$\frac{4 x + 18}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{(x + 3) (x - 3)}{3}$

Étape 7.7

Factorisez $2$ à partir de $4 x + 18$ .

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Étape 7.7.1

Factorisez $2$ à partir de $4 x$ .

$\frac{2 (2 x) + 18}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{(x + 3) (x - 3)}{3}$

Étape 7.7.2

Factorisez $2$ à partir de $18$ .

$\frac{2 (2 x) + 2 (9)}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{(x + 3) (x - 3)}{3}$

Étape 7.7.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (2 x) + 2 (9)$ .

$\frac{2 (2 x + 9)}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{(x + 3) (x - 3)}{3}$

Étape 8

Simplifiez les termes.

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Étape 8.1

Annulez le facteur commun de $(x + 3) (x - 3)$ .

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Étape 8.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (2 x + 9)}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{(x + 3) (x - 3)}{3}$

Étape 8.1.2

Réécrivez l’expression.

$2 (2 x + 9) \frac{1}{3}$

Étape 8.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $2$ .

$\frac{2}{3} (2 x + 9)$

Étape 8.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2}{3} (2 x) + \frac{2}{3} \cdot 9$

Étape 9

Multipliez $\frac{2}{3} (2 x)$ .

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Étape 9.1

Associez $2$ et $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{3} x + \frac{2}{3} \cdot 9$

Étape 9.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{4}{3} x + \frac{2}{3} \cdot 9$

Étape 9.3

Associez $\frac{4}{3}$ et $x$ .

$\frac{4 x}{3} + \frac{2}{3} \cdot 9$

Étape 10

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 10.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$\frac{4 x}{3} + \frac{2}{3} \cdot (3 (3))$

Étape 10.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x}{3} + \frac{2}{3} \cdot (3 \cdot 3)$

Étape 10.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{4 x}{3} + 2 \cdot 3$

Étape 11

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{4 x}{3} + 6$

Étape 12

Pour écrire $6$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4 x}{3} + 6 \cdot \frac{3}{3}$

Étape 13

Simplifiez les termes.

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Étape 13.1

Associez $6$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4 x}{3} + \frac{6 \cdot 3}{3}$

Étape 13.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{4 x + 6 \cdot 3}{3}$

Étape 14

Simplifiez le numérateur.

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Étape 14.1

Factorisez $2$ à partir de $4 x + 6 \cdot 3$ .

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Étape 14.1.1

Factorisez $2$ à partir de $4 x$ .

$\frac{2 (2 x) + 6 \cdot 3}{3}$

Étape 14.1.2

Factorisez $2$ à partir de $6 \cdot 3$ .

$\frac{2 (2 x) + 2 (3 \cdot 3)}{3}$

Étape 14.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (2 x) + 2 (3 \cdot 3)$ .

$\frac{2 (2 x + 3 \cdot 3)}{3}$

Étape 14.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{2 (2 x + 9)}{3}$