Algèbre Exemples

$\frac{\frac{3}{x - 2} - \frac{4}{x + 2}}{\frac{7}{x^{2} - 4}}$

Étape 1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$(\frac{3}{x - 2} - \frac{4}{x + 2}) \frac{x^{2} - 4}{7}$

Étape 2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$(\frac{3}{x - 2} - \frac{4}{x + 2}) \frac{x^{2} - 2^{2}}{7}$

Étape 2.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 2$ .

$(\frac{3}{x - 2} - \frac{4}{x + 2}) \frac{(x + 2) (x - 2)}{7}$

Étape 3

Pour écrire $\frac{3}{x - 2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$(\frac{3}{x - 2} \cdot \frac{x + 2}{x + 2} - \frac{4}{x + 2}) \frac{(x + 2) (x - 2)}{7}$

Étape 4

Pour écrire $- \frac{4}{x + 2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$(\frac{3}{x - 2} \cdot \frac{x + 2}{x + 2} - \frac{4}{x + 2} \cdot \frac{x - 2}{x - 2}) \frac{(x + 2) (x - 2)}{7}$

Étape 5

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x - 2) (x + 2)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 5.1

Multipliez $\frac{3}{x - 2}$ par $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$(\frac{3 (x + 2)}{(x - 2) (x + 2)} - \frac{4}{x + 2} \cdot \frac{x - 2}{x - 2}) \frac{(x + 2) (x - 2)}{7}$

Étape 5.2

Multipliez $\frac{4}{x + 2}$ par $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$(\frac{3 (x + 2)}{(x - 2) (x + 2)} - \frac{4 (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)}) \frac{(x + 2) (x - 2)}{7}$

Étape 5.3

Réorganisez les facteurs de $(x - 2) (x + 2)$ .

$(\frac{3 (x + 2)}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{4 (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)}) \frac{(x + 2) (x - 2)}{7}$

Étape 6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3 (x + 2) - 4 (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{(x + 2) (x - 2)}{7}$

Étape 7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 x + 3 \cdot 2 - 4 (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{(x + 2) (x - 2)}{7}$

Étape 7.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{3 x + 6 - 4 (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{(x + 2) (x - 2)}{7}$

Étape 7.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 x + 6 - 4 x - 4 \cdot - 2}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{(x + 2) (x - 2)}{7}$

Étape 7.4

Multipliez $- 4$ par $- 2$ .

$\frac{3 x + 6 - 4 x + 8}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{(x + 2) (x - 2)}{7}$

Étape 7.5

Soustrayez $4 x$ de $3 x$ .

$\frac{- x + 6 + 8}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{(x + 2) (x - 2)}{7}$

Étape 7.6

Additionnez $6$ et $8$ .

$\frac{- x + 14}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{(x + 2) (x - 2)}{7}$

Étape 8

Simplifiez les termes.

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Étape 8.1

Annulez le facteur commun de $(x + 2) (x - 2)$ .

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Étape 8.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- x + 14}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{(x + 2) (x - 2)}{7}$

Étape 8.1.2

Réécrivez l’expression.

$(- x + 14) \frac{1}{7}$

Étape 8.2

Appliquez la propriété distributive.

$- x \frac{1}{7} + 14 (\frac{1}{7})$

Étape 8.3

Associez $\frac{1}{7}$ et $x$ .

$- \frac{x}{7} + 14 (\frac{1}{7})$

Étape 8.4

Annulez le facteur commun de $7$ .

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Étape 8.4.1

Factorisez $7$ à partir de $14$ .

$- \frac{x}{7} + 7 (2) \frac{1}{7}$

Étape 8.4.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{x}{7} + 7 \cdot 2 \frac{1}{7}$

Étape 8.4.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{x}{7} + 2$

Étape 9

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{7}{7}$ .

$- \frac{x}{7} + 2 \cdot \frac{7}{7}$

Étape 10

Associez $2$ et $\frac{7}{7}$ .

$- \frac{x}{7} + \frac{2 \cdot 7}{7}$

Étape 11

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- x + 2 \cdot 7}{7}$

Étape 12

Multipliez $2$ par $7$ .

$\frac{- x + 14}{7}$

Étape 13

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{- (x) + 14}{7}$

Étape 14

Réécrivez $14$ comme $- 1 (- 14)$ .

$\frac{- (x) - 1 (- 14)}{7}$

Étape 15

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (- 14)$ .

$\frac{- (x - 14)}{7}$

Étape 16

Simplifiez l’expression.

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Étape 16.1

Réécrivez $- (x - 14)$ comme $- 1 (x - 14)$ .

$\frac{- 1 (x - 14)}{7}$

Étape 16.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{x - 14}{7}$