Algèbre Exemples

$\frac{9}{2 z^{2} + 6 z - 36} - \frac{6 z + 2}{2 z^{2} + 4 z - 30}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 z^{2} + 6 z - 36$ .

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Étape 1.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 z^{2}$ .

$\frac{9}{2 (z^{2}) + 6 z - 36} - \frac{6 z + 2}{2 z^{2} + 4 z - 30}$

Étape 1.1.1.2

Factorisez $2$ à partir de $6 z$ .

$\frac{9}{2 (z^{2}) + 2 (3 z) - 36} - \frac{6 z + 2}{2 z^{2} + 4 z - 30}$

Étape 1.1.1.3

Factorisez $2$ à partir de $- 36$ .

$\frac{9}{2 z^{2} + 2 (3 z) + 2 \cdot - 18} - \frac{6 z + 2}{2 z^{2} + 4 z - 30}$

Étape 1.1.1.4

Factorisez $2$ à partir de $2 z^{2} + 2 (3 z)$ .

$\frac{9}{2 (z^{2} + 3 z) + 2 \cdot - 18} - \frac{6 z + 2}{2 z^{2} + 4 z - 30}$

Étape 1.1.1.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (z^{2} + 3 z) + 2 \cdot - 18$ .

$\frac{9}{2 (z^{2} + 3 z - 18)} - \frac{6 z + 2}{2 z^{2} + 4 z - 30}$

Étape 1.1.2

Factorisez $z^{2} + 3 z - 18$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.1.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 18$ et dont la somme est $3$ .

$- 3, 6$

Étape 1.1.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{9}{2 ((z - 3) (z + 6))} - \frac{6 z + 2}{2 z^{2} + 4 z - 30}$

$\frac{9}{2 (z - 3) (z + 6)} - \frac{6 z + 2}{2 z^{2} + 4 z - 30}$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun à $6 z + 2$ et $2 z^{2} + 4 z - 30$ .

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Étape 1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6 z$ .

$\frac{9}{2 (z - 3) (z + 6)} - \frac{2 (3 z) + 2}{2 z^{2} + 4 z - 30}$

Étape 1.2.2

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{9}{2 (z - 3) (z + 6)} - \frac{2 (3 z) + 2 \cdot 1}{2 z^{2} + 4 z - 30}$

Étape 1.2.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (3 z) + 2 (1)$ .

$\frac{9}{2 (z - 3) (z + 6)} - \frac{2 (3 z + 1)}{2 z^{2} + 4 z - 30}$

Étape 1.2.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2 z^{2}$ .

$\frac{9}{2 (z - 3) (z + 6)} - \frac{2 (3 z + 1)}{2 (z^{2}) + 4 z - 30}$

Étape 1.2.4.2

Factorisez $2$ à partir de $4 z$ .

$\frac{9}{2 (z - 3) (z + 6)} - \frac{2 (3 z + 1)}{2 (z^{2}) + 2 (2 z) - 30}$

Étape 1.2.4.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (z^{2}) + 2 (2 z)$ .

$\frac{9}{2 (z - 3) (z + 6)} - \frac{2 (3 z + 1)}{2 (z^{2} + 2 z) - 30}$

Étape 1.2.4.4

Factorisez $2$ à partir de $- 30$ .

$\frac{9}{2 (z - 3) (z + 6)} - \frac{2 (3 z + 1)}{2 (z^{2} + 2 z) + 2 \cdot - 15}$

Étape 1.2.4.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (z^{2} + 2 z) + 2 \cdot - 15$ .

$\frac{9}{2 (z - 3) (z + 6)} - \frac{2 (3 z + 1)}{2 (z^{2} + 2 z - 15)}$

Étape 1.2.4.6

Annulez le facteur commun.

$\frac{9}{2 (z - 3) (z + 6)} - \frac{2 (3 z + 1)}{2 (z^{2} + 2 z - 15)}$

Étape 1.2.4.7

Réécrivez l’expression.

$\frac{9}{2 (z - 3) (z + 6)} - \frac{3 z + 1}{z^{2} + 2 z - 15}$

Étape 1.3

Factorisez $z^{2} + 2 z - 15$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.3.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 15$ et dont la somme est $2$ .

$- 3, 5$

Étape 1.3.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{9}{2 (z - 3) (z + 6)} - \frac{3 z + 1}{(z - 3) (z + 5)}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{9}{2 (z - 3) (z + 6)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{z + 5}{z + 5}$ .

$\frac{9}{2 (z - 3) (z + 6)} \cdot \frac{z + 5}{z + 5} - \frac{3 z + 1}{(z - 3) (z + 5)}$

Étape 3

Pour écrire $- \frac{3 z + 1}{(z - 3) (z + 5)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2 (z + 6)}{2 (z + 6)}$ .

$\frac{9}{2 (z - 3) (z + 6)} \cdot \frac{z + 5}{z + 5} - \frac{3 z + 1}{(z - 3) (z + 5)} \cdot \frac{2 (z + 6)}{2 (z + 6)}$

Étape 4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $2 (z - 3) (z + 6) (z + 5)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{9}{2 (z - 3) (z + 6)}$ par $\frac{z + 5}{z + 5}$ .

$\frac{9 (z + 5)}{2 (z - 3) (z + 6) (z + 5)} - \frac{3 z + 1}{(z - 3) (z + 5)} \cdot \frac{2 (z + 6)}{2 (z + 6)}$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{3 z + 1}{(z - 3) (z + 5)}$ par $\frac{2 (z + 6)}{2 (z + 6)}$ .

$\frac{9 (z + 5)}{2 (z - 3) (z + 6) (z + 5)} - \frac{(3 z + 1) (2 (z + 6))}{(z - 3) (z + 5) (2 (z + 6))}$

Étape 4.3

Réorganisez les facteurs de $2 (z - 3) (z + 6) (z + 5)$ .

$\frac{9 (z + 5)}{2 (z + 5) (z + 6) (z - 3)} - \frac{(3 z + 1) (2 (z + 6))}{(z - 3) (z + 5) (2 (z + 6))}$

Étape 4.4

Réorganisez les facteurs de $(z - 3) (z + 5) (2 (z + 6))$ .

$\frac{9 (z + 5)}{2 (z + 5) (z + 6) (z - 3)} - \frac{(3 z + 1) (2 (z + 6))}{2 (z + 5) (z + 6) (z - 3)}$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{9 (z + 5) - (3 z + 1) (2 (z + 6))}{2 (z + 5) (z + 6) (z - 3)}$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{9 z + 9 \cdot 5 - (3 z + 1) (2 (z + 6))}{2 (z + 5) (z + 6) (z - 3)}$

Étape 6.2

Multipliez $9$ par $5$ .

$\frac{9 z + 45 - (3 z + 1) (2 (z + 6))}{2 (z + 5) (z + 6) (z - 3)}$

Étape 6.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{9 z + 45 + (- (3 z) - 1 \cdot 1) (2 (z + 6))}{2 (z + 5) (z + 6) (z - 3)}$

Étape 6.4

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{9 z + 45 + (- 3 z - 1 \cdot 1) (2 (z + 6))}{2 (z + 5) (z + 6) (z - 3)}$

Étape 6.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{9 z + 45 + (- 3 z - 1) (2 (z + 6))}{2 (z + 5) (z + 6) (z - 3)}$

Étape 6.6

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{9 z + 45 + (- 3 z - 1) (2 z + 2 \cdot 6)}{2 (z + 5) (z + 6) (z - 3)}$

Étape 6.7

Multipliez $2$ par $6$ .

$\frac{9 z + 45 + (- 3 z - 1) (2 z + 12)}{2 (z + 5) (z + 6) (z - 3)}$

Étape 6.8

Développez $(- 3 z - 1) (2 z + 12)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.8.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{9 z + 45 - 3 z (2 z + 12) - 1 (2 z + 12)}{2 (z + 5) (z + 6) (z - 3)}$

Étape 6.8.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{9 z + 45 - 3 z (2 z) - 3 z \cdot 12 - 1 (2 z + 12)}{2 (z + 5) (z + 6) (z - 3)}$

Étape 6.8.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{9 z + 45 - 3 z (2 z) - 3 z \cdot 12 - 1 (2 z) - 1 \cdot 12}{2 (z + 5) (z + 6) (z - 3)}$

Étape 6.9

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.9.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{9 z + 45 - 3 \cdot 2 z \cdot z - 3 z \cdot 12 - 1 (2 z) - 1 \cdot 12}{2 (z + 5) (z + 6) (z - 3)}$

Étape 6.9.1.2

Multipliez $z$ par $z$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.9.1.2.1

Déplacez $z$ .

$\frac{9 z + 45 - 3 \cdot 2 (z \cdot z) - 3 z \cdot 12 - 1 (2 z) - 1 \cdot 12}{2 (z + 5) (z + 6) (z - 3)}$

Étape 6.9.1.2.2

Multipliez $z$ par $z$ .

$\frac{9 z + 45 - 3 \cdot 2 z^{2} - 3 z \cdot 12 - 1 (2 z) - 1 \cdot 12}{2 (z + 5) (z + 6) (z - 3)}$

Étape 6.9.1.3

Multipliez $- 3$ par $2$ .

$\frac{9 z + 45 - 6 z^{2} - 3 z \cdot 12 - 1 (2 z) - 1 \cdot 12}{2 (z + 5) (z + 6) (z - 3)}$

Étape 6.9.1.4

Multipliez $12$ par $- 3$ .

$\frac{9 z + 45 - 6 z^{2} - 36 z - 1 (2 z) - 1 \cdot 12}{2 (z + 5) (z + 6) (z - 3)}$

Étape 6.9.1.5

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{9 z + 45 - 6 z^{2} - 36 z - 2 z - 1 \cdot 12}{2 (z + 5) (z + 6) (z - 3)}$

Étape 6.9.1.6

Multipliez $- 1$ par $12$ .

$\frac{9 z + 45 - 6 z^{2} - 36 z - 2 z - 12}{2 (z + 5) (z + 6) (z - 3)}$

Étape 6.9.2

Soustrayez $2 z$ de $- 36 z$ .

$\frac{9 z + 45 - 6 z^{2} - 38 z - 12}{2 (z + 5) (z + 6) (z - 3)}$

Étape 6.10

Soustrayez $38 z$ de $9 z$ .

$\frac{- 29 z + 45 - 6 z^{2} - 12}{2 (z + 5) (z + 6) (z - 3)}$

Étape 6.11

Soustrayez $12$ de $45$ .

$\frac{- 29 z - 6 z^{2} + 33}{2 (z + 5) (z + 6) (z - 3)}$

Étape 6.12

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- 6 z^{2} - 29 z + 33}{2 (z + 5) (z + 6) (z - 3)}$

Étape 7

Simplifiez en factorisant.

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Étape 7.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- 6 z^{2}$ .

$\frac{- (6 z^{2}) - 29 z + 33}{2 (z + 5) (z + 6) (z - 3)}$

Étape 7.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 29 z$ .

$\frac{- (6 z^{2}) - (29 z) + 33}{2 (z + 5) (z + 6) (z - 3)}$

Étape 7.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (6 z^{2}) - (29 z)$ .

$\frac{- (6 z^{2} + 29 z) + 33}{2 (z + 5) (z + 6) (z - 3)}$

Étape 7.4

Réécrivez $33$ comme $- 1 (- 33)$ .

$\frac{- (6 z^{2} + 29 z) - 1 (- 33)}{2 (z + 5) (z + 6) (z - 3)}$

Étape 7.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (6 z^{2} + 29 z) - 1 (- 33)$ .

$\frac{- (6 z^{2} + 29 z - 33)}{2 (z + 5) (z + 6) (z - 3)}$

Étape 7.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 7.6.1

Réécrivez $- (6 z^{2} + 29 z - 33)$ comme $- 1 (6 z^{2} + 29 z - 33)$ .

$\frac{- 1 (6 z^{2} + 29 z - 33)}{2 (z + 5) (z + 6) (z - 3)}$

Étape 7.6.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{6 z^{2} + 29 z - 33}{2 (z + 5) (z + 6) (z - 3)}$