Algèbre Exemples

$y = \sqrt{x^{2} - 4}$

Étape 1

Interchangez les variables.

$x = \sqrt{y^{2} - 4}$

Étape 2

Résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Réécrivez l’équation comme $\sqrt{y^{2} - 4} = x$ .

$\sqrt{y^{2} - 4} = x$

Étape 2.2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{y^{2} - 4}}^{2} = x^{2}$

Étape 2.3

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 2.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{y^{2} - 4}$ comme ${(y^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(y^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.1

Simplifiez ${({(y^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(y^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.3.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y^{2} - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Étape 2.3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(y^{2} - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Étape 2.3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(y^{2} - 4)}^{1} = x^{2}$

Étape 2.3.2.1.2

Simplifiez

$y^{2} - 4 = x^{2}$

Étape 2.4

Résolvez $y$ .

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Étape 2.4.1

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$y^{2} = x^{2} + 4$

Étape 2.4.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{x^{2} + 4}$

Étape 2.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.4.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = \sqrt{x^{2} + 4}$

Étape 2.4.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - \sqrt{x^{2} + 4}$

Étape 2.4.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \sqrt{x^{2} + 4}$

$y = - \sqrt{x^{2} + 4}$

$y = \sqrt{x^{2} + 4}$

$y = - \sqrt{x^{2} + 4}$

$y = \sqrt{x^{2} + 4}$

$y = - \sqrt{x^{2} + 4}$

$y = \sqrt{x^{2} + 4}$

$y = - \sqrt{x^{2} + 4}$

Étape 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \sqrt{x^{2} + 4}, - \sqrt{x^{2} + 4}$

Étape 4

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \sqrt{x^{2} + 4}, - \sqrt{x^{2} + 4}$ est l’inverse de $f (x) = \sqrt{x^{2} - 4}$ .

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Étape 4.1

Le domaine de l’inverse est la plage de la fonction initiale et inversement. Déterminez le domaine et la plage de $f (x) = \sqrt{x^{2} - 4}$ et $f^{- 1} (x) = \sqrt{x^{2} + 4}, - \sqrt{x^{2} + 4}$ puis comparez-les.

Étape 4.2

Déterminez la plage de $f (x) = \sqrt{x^{2} - 4}$ .

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Étape 4.2.1

La plage est l’ensemble de toutes les valeurs $y$ valides. Utilisez le graphe pour déterminer la plage.

Notation d’intervalle :

$[0, \infty)$

Étape 4.3

Déterminez le domaine de $\sqrt{x^{2} + 4}$ .

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Étape 4.3.1

Définissez le radicande dans $\sqrt{x^{2} + 4}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$x^{2} + 4 \geq 0$

Étape 4.3.2

Résolvez $x$ .

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Étape 4.3.2.1

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’inégalité.

$x^{2} \geq - 4$

Étape 4.3.2.2

Comme le côté gauche a une puissance paire, il est toujours positif pour tous les nombres réels.

Tous les nombres réels

Étape 4.3.3

Le domaine est l’ensemble des nombres réels.

$(- \infty, \infty)$

Étape 4.4

Comme le domaine de $f^{- 1} (x) = \sqrt{x^{2} + 4}, - \sqrt{x^{2} + 4}$ n’est pas égal à la plage de $f (x) = \sqrt{x^{2} - 4}$ , $f^{- 1} (x) = \sqrt{x^{2} + 4}, - \sqrt{x^{2} + 4}$ n’est pas un inverse de $f (x) = \sqrt{x^{2} - 4}$ .

Il n’y a pas d’inverse

Étape 5