Algèbre Exemples

$x \sqrt{x} = \frac{1}{8}$

Étape 1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${(x \sqrt{x})}^{2} = {(\frac{1}{8})}^{2}$

Étape 2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(x \cdot x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{1}{8})}^{2}$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Simplifiez ${(x \cdot x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.2.1.1

Multipliez $x$ par $x^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.2.1.1.1

Multipliez $x$ par $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 2.2.1.1.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

${(x^{1} x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{1}{8})}^{2}$

Étape 2.2.1.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${(x^{1 + \frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{1}{8})}^{2}$

Étape 2.2.1.1.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

${(x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{1}{8})}^{2}$

Étape 2.2.1.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

${(x^{\frac{2 + 1}{2}})}^{2} = {(\frac{1}{8})}^{2}$

Étape 2.2.1.1.4

Additionnez $2$ et $1$ .

${(x^{\frac{3}{2}})}^{2} = {(\frac{1}{8})}^{2}$

Étape 2.2.1.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.2.1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{3}{2} \cdot 2} = {(\frac{1}{8})}^{2}$

Étape 2.2.1.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.1.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{3}{2} \cdot 2} = {(\frac{1}{8})}^{2}$

Étape 2.2.1.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{3} = {(\frac{1}{8})}^{2}$

Étape 2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Simplifiez ${(\frac{1}{8})}^{2}$ .

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Étape 2.3.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{8}$ .

$x^{3} = \frac{1^{2}}{8^{2}}$

Étape 2.3.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$x^{3} = \frac{1}{8^{2}}$

Étape 2.3.1.3

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$x^{3} = \frac{1}{64}$

Étape 3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Soustrayez $\frac{1}{64}$ des deux côtés de l’équation.

$x^{3} - \frac{1}{64} = 0$

Étape 3.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 3.2.1

Réécrivez $\frac{1}{64}$ comme ${(\frac{1}{4})}^{3}$ .

$x^{3} - {(\frac{1}{4})}^{3} = 0$

Étape 3.2.2

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = x$ et $b = \frac{1}{4}$ .

$(x - \frac{1}{4}) (x^{2} + x (\frac{1}{4}) + {(\frac{1}{4})}^{2}) = 0$

Étape 3.2.3

Simplifiez

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Étape 3.2.3.1

Associez $x$ et $\frac{1}{4}$ .

$(x - \frac{1}{4}) (x^{2} + \frac{x}{4} + {(\frac{1}{4})}^{2}) = 0$

Étape 3.2.3.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{4}$ .

$(x - \frac{1}{4}) (x^{2} + \frac{x}{4} + \frac{1^{2}}{4^{2}}) = 0$

Étape 3.2.3.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$(x - \frac{1}{4}) (x^{2} + \frac{x}{4} + \frac{1}{4^{2}}) = 0$

Étape 3.2.3.4

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$(x - \frac{1}{4}) (x^{2} + \frac{x}{4} + \frac{1}{16}) = 0$

Étape 3.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - \frac{1}{4} = 0$

$x^{2} + \frac{x}{4} + \frac{1}{16} = 0$

Étape 3.4

Définissez $x - \frac{1}{4}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.4.1

Définissez $x - \frac{1}{4}$ égal à $0$ .

$x - \frac{1}{4} = 0$

Étape 3.4.2

Ajoutez $\frac{1}{4}$ aux deux côtés de l’équation.

$x = \frac{1}{4}$

Étape 3.5

Définissez $x^{2} + \frac{x}{4} + \frac{1}{16}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.5.1

Définissez $x^{2} + \frac{x}{4} + \frac{1}{16}$ égal à $0$ .

$x^{2} + \frac{x}{4} + \frac{1}{16} = 0$

Étape 3.5.2

Résolvez $x^{2} + \frac{x}{4} + \frac{1}{16} = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.5.2.1

Multipliez par le plus petit dénominateur commun $16$ , puis simplifiez.

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Étape 3.5.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$16 x^{2} + 16 (\frac{x}{4}) + 16 (\frac{1}{16}) = 0$

Étape 3.5.2.1.2

Simplifiez

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Étape 3.5.2.1.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 3.5.2.1.2.1.1

Factorisez $4$ à partir de $16$ .

$16 x^{2} + 4 (4) (\frac{x}{4}) + 16 (\frac{1}{16}) = 0$

Étape 3.5.2.1.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$16 x^{2} + 4 \cdot (4 (\frac{x}{4})) + 16 (\frac{1}{16}) = 0$

Étape 3.5.2.1.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$16 x^{2} + 4 x + 16 (\frac{1}{16}) = 0$

Étape 3.5.2.1.2.2

Annulez le facteur commun de $16$ .

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Étape 3.5.2.1.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$16 x^{2} + 4 x + 16 (\frac{1}{16}) = 0$

Étape 3.5.2.1.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$16 x^{2} + 4 x + 1 = 0$

Étape 3.5.2.2

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 3.5.2.3

Remplacez les valeurs $a = 16$ , $b = 4$ et $c = 1$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (16 \cdot 1)}}{2 \cdot 16}$

Étape 3.5.2.4

Simplifiez

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Étape 3.5.2.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.5.2.4.1.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16 \cdot 1}}{2 \cdot 16}$

Étape 3.5.2.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 16 \cdot 1$ .

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Étape 3.5.2.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64 \cdot 1}}{2 \cdot 16}$

Étape 3.5.2.4.1.2.2

Multipliez $- 64$ par $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 16}$

Étape 3.5.2.4.1.3

Soustrayez $64$ de $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 16}$

Étape 3.5.2.4.1.4

Réécrivez $- 48$ comme $- 1 (48)$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 16}$

Étape 3.5.2.4.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (48)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 16}$

Étape 3.5.2.4.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 16}$

Étape 3.5.2.4.1.7

Réécrivez $48$ comme $4^{2} \cdot 3$ .

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Étape 3.5.2.4.1.7.1

Factorisez $16$ à partir de $48$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 16}$

Étape 3.5.2.4.1.7.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 16}$

Étape 3.5.2.4.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 16}$

Étape 3.5.2.4.1.9

Déplacez $4$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 16}$

Étape 3.5.2.4.2

Multipliez $2$ par $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{32}$

Étape 3.5.2.4.3

Simplifiez $\frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{32}$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{8}$

Étape 3.5.2.5

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{8}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{8}$

Étape 3.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - \frac{1}{4}) (x^{2} + \frac{x}{4} + \frac{1}{16}) = 0$ vraie.

$x = \frac{1}{4}, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{8}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{8}$