Algèbre Exemples

$f (x) = 8 \sqrt{x}$ ; for $x \geq 0$

Étape 1

Déterminez la plage de la fonction donnée.

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Étape 1.1

La plage est l’ensemble de toutes les valeurs $y$ valides. Utilisez le graphe pour déterminer la plage.

$[0, \infty)$

Étape 1.2

Convertissez $[0, \infty)$ en une inégalité.

$y \geq 0$

Étape 2

Déterminez l’inverse.

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Étape 2.1

Interchangez les variables.

$x = 8 \sqrt{y}$

Étape 2.2

Résolvez $y$ .

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Étape 2.2.1

Réécrivez l’équation comme $8 \sqrt{y} = x$ .

$8 \sqrt{y} = x$

Étape 2.2.2

Divisez chaque terme dans $8 \sqrt{y} = x$ par $8$ et simplifiez.

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Étape 2.2.2.1

Divisez chaque terme dans $8 \sqrt{y} = x$ par $8$ .

$\frac{8 \sqrt{y}}{8} = \frac{x}{8}$

Étape 2.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 2.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{8 \sqrt{y}}{8} = \frac{x}{8}$

Étape 2.2.2.2.1.2

Divisez $\sqrt{y}$ par $1$ .

$\sqrt{y} = \frac{x}{8}$

Étape 2.2.3

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{y}}^{2} = {(\frac{x}{8})}^{2}$

Étape 2.2.4

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 2.2.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{y}$ comme $y^{\frac{1}{2}}$ .

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{x}{8})}^{2}$

Étape 2.2.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.4.2.1

Simplifiez ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.2.4.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.4.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{x}{8})}^{2}$

Étape 2.2.4.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.4.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{x}{8})}^{2}$

Étape 2.2.4.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y^{1} = {(\frac{x}{8})}^{2}$

Étape 2.2.4.2.1.2

Simplifiez

$y = {(\frac{x}{8})}^{2}$

Étape 2.2.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.4.3.1

Simplifiez ${(\frac{x}{8})}^{2}$ .

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Étape 2.2.4.3.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{x}{8}$ .

$y = \frac{x^{2}}{8^{2}}$

Étape 2.2.4.3.1.2

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{x^{2}}{64}$

Étape 2.3

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{64}$

Étape 3

Déterminez l’inverse en utilisant le domaine et la plage de la fonction d’origine.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{64}, x \geq 0$

Étape 4