Algèbre Exemples

$2^{2 + x} \cdot 3^{x} = \frac{2}{3} \cdot 6^{3 x - 1}$

Étape 1

Prenez le logarithme des deux côtés de l’équation.

$\ln (2^{2 + x} \cdot 3^{x}) = \ln (\frac{2}{3} \cdot 6^{3 x - 1})$

Étape 2

Réécrivez $\ln (2^{2 + x} \cdot 3^{x})$ comme $\ln (2^{2 + x}) + \ln (3^{x})$ .

$\ln (2^{2 + x}) + \ln (3^{x}) = \ln (\frac{2}{3} \cdot 6^{3 x - 1})$

Étape 3

Développez $\ln (2^{2 + x})$ en déplaçant $2 + x$ hors du logarithme.

$(2 + x) \ln (2) + \ln (3^{x}) = \ln (\frac{2}{3} \cdot 6^{3 x - 1})$

Étape 4

Développez $\ln (3^{x})$ en déplaçant $x$ hors du logarithme.

$(2 + x) \ln (2) + x \ln (3) = \ln (\frac{2}{3} \cdot 6^{3 x - 1})$

Étape 5

Réécrivez $\ln (\frac{2}{3} \cdot 6^{3 x - 1})$ comme $\ln (\frac{2}{3}) + \ln (6^{3 x - 1})$ .

$(2 + x) \ln (2) + x \ln (3) = \ln (\frac{2}{3}) + \ln (6^{3 x - 1})$

Étape 6

Réécrivez $\ln (\frac{2}{3})$ comme $\ln (2) - \ln (3)$ .

$(2 + x) \ln (2) + x \ln (3) = \ln (2) - \ln (3) + \ln (6^{3 x - 1})$

Étape 7

Développez $\ln (6^{3 x - 1})$ en déplaçant $3 x - 1$ hors du logarithme.

$(2 + x) \ln (2) + x \ln (3) = \ln (2) - \ln (3) + (3 x - 1) \ln (6)$

Étape 8

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 8.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 \ln (2) + x \ln (2) + x \ln (3) = \ln (2) - \ln (3) + (3 x - 1) \ln (6)$

Étape 8.1.2

Déplacez $2 \ln (2)$ .

$x \ln (2) + x \ln (3) + 2 \ln (2) = \ln (2) - \ln (3) + (3 x - 1) \ln (6)$

Étape 8.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.2.1

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$x \ln (2) + x \ln (3) + 2 \ln (2) = \ln (\frac{2}{3}) + (3 x - 1) \ln (6)$

Étape 8.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$x \ln (2) + x \ln (3) + 2 \ln (2) = \ln (\frac{2}{3}) + 3 x \ln (6) - 1 \ln (6)$

Étape 8.2.2.2

Réécrivez $- 1 \ln (6)$ comme $- \ln (6)$ .

$x \ln (2) + x \ln (3) + 2 \ln (2) = \ln (\frac{2}{3}) + 3 x \ln (6) - \ln (6)$

Étape 8.2.3

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$x \ln (2) + x \ln (3) + 2 \ln (2) = 3 x \ln (6) + \ln (\frac{\frac{2}{3}}{6})$

Étape 8.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.2.4.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x \ln (2) + x \ln (3) + 2 \ln (2) = 3 x \ln (6) + \ln (\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{6})$

Étape 8.2.4.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.2.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$x \ln (2) + x \ln (3) + 2 \ln (2) = 3 x \ln (6) + \ln (\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2 (3)})$

Étape 8.2.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$x \ln (2) + x \ln (3) + 2 \ln (2) = 3 x \ln (6) + \ln (\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2 \cdot 3})$

Étape 8.2.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$x \ln (2) + x \ln (3) + 2 \ln (2) = 3 x \ln (6) + \ln (\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3})$

Étape 8.2.4.3

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{1}{3}$ .

$x \ln (2) + x \ln (3) + 2 \ln (2) = 3 x \ln (6) + \ln (\frac{1}{3 \cdot 3})$

Étape 8.2.4.4

Multipliez $3$ par $3$ .

$x \ln (2) + x \ln (3) + 2 \ln (2) = 3 x \ln (6) + \ln (\frac{1}{9})$

Étape 8.3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.3.1.1

Simplifiez $2 \ln (2)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$x \ln (2) + x \ln (3) + \ln (2^{2}) = 3 x \ln (6) + \ln (\frac{1}{9})$

Étape 8.3.1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$x \ln (2) + x \ln (3) + \ln (4) = 3 x \ln (6) + \ln (\frac{1}{9})$

Étape 8.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.4.1.1

Simplifiez $3 \ln (6)$ en déplaçant $3$ dans le logarithme.

$x \ln (2) + x \ln (3) + \ln (4) = x \ln (6^{3}) + \ln (\frac{1}{9})$

Étape 8.4.1.2

Élevez $6$ à la puissance $3$ .

$x \ln (2) + x \ln (3) + \ln (4) = x \ln (216) + \ln (\frac{1}{9})$

Étape 8.5

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$x \ln (2) + x \ln (3) + \ln (4) - x \ln (216) - \ln (\frac{1}{9}) = 0$

Étape 8.6

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$x \ln (2) + x \ln (3) - x \ln (216) + \ln (\frac{4}{\frac{1}{9}}) = 0$

Étape 8.7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.7.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x \ln (2) + x \ln (3) - x \ln (216) + \ln (4 \cdot 9) = 0$

Étape 8.7.2

Multipliez $4$ par $9$ .

$x \ln (2) + x \ln (3) - x \ln (216) + \ln (36) = 0$

Étape 8.8

Soustrayez $\ln (36)$ des deux côtés de l’équation.

$x \ln (2) + x \ln (3) - x \ln (216) = - \ln (36)$

Étape 8.9

Factorisez $x$ à partir de $x \ln (2) + x \ln (3) - x \ln (216)$ .

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Étape 8.9.1

Factorisez $x$ à partir de $x \ln (2)$ .

$x (\ln (2)) + x \ln (3) - x \ln (216) = - \ln (36)$

Étape 8.9.2

Factorisez $x$ à partir de $x \ln (3)$ .

$x (\ln (2)) + x (\ln (3)) - x \ln (216) = - \ln (36)$

Étape 8.9.3

Factorisez $x$ à partir de $- x \ln (216)$ .

$x (\ln (2)) + x (\ln (3)) + x (- 1 \ln (216)) = - \ln (36)$

Étape 8.9.4

Factorisez $x$ à partir de $x (\ln (2)) + x (\ln (3))$ .

$x (\ln (2) + \ln (3)) + x (- 1 \ln (216)) = - \ln (36)$

Étape 8.9.5

Factorisez $x$ à partir de $x (\ln (2) + \ln (3)) + x (- 1 \ln (216))$ .

$x (\ln (2) + \ln (3) - 1 \ln (216)) = - \ln (36)$

Étape 8.10

Réécrivez $- 1 \ln (216)$ comme $- \ln (216)$ .

$x (\ln (2) + \ln (3) - \ln (216)) = - \ln (36)$

Étape 8.11

Divisez chaque terme dans $x (\ln (2) + \ln (3) - \ln (216)) = - \ln (36)$ par $\ln (2) + \ln (3) - \ln (216)$ et simplifiez.

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Étape 8.11.1

Divisez chaque terme dans $x (\ln (2) + \ln (3) - \ln (216)) = - \ln (36)$ par $\ln (2) + \ln (3) - \ln (216)$ .

$\frac{x (\ln (2) + \ln (3) - \ln (216))}{\ln (2) + \ln (3) - \ln (216)} = \frac{- \ln (36)}{\ln (2) + \ln (3) - \ln (216)}$

Étape 8.11.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.11.2.1

Annulez le facteur commun de $\ln (2) + \ln (3) - \ln (216)$ .

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Étape 8.11.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (\ln (2) + \ln (3) - \ln (216))}{\ln (2) + \ln (3) - \ln (216)} = \frac{- \ln (36)}{\ln (2) + \ln (3) - \ln (216)}$

Étape 8.11.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- \ln (36)}{\ln (2) + \ln (3) - \ln (216)}$

Étape 8.11.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.11.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{\ln (36)}{\ln (2) + \ln (3) - \ln (216)}$

Étape 9

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = - \frac{\ln (36)}{\ln (2) + \ln (3) - \ln (216)}$

Forme décimale :

$x = 1$